Equivalenza di norme
Un esercizio mi chiede di dimostrare che nello spazio $RR^N$ tutte le norme sono equivalenti. Come suggerimento dice di dimostrare che una qualsiasi norma è equivalente alla norma euclidea. La mia domanda è: quando due norme in generale sono equivalenti?
Risposte
Grazie. Ti chiedo ancora due cose poi smetto. Il mio ragionamento per il punto (4) era più o meno corretto (nel senso che sarebbe stato valutato positivamente in un eventuale tema d'esame)? E poi vorrei sapere a cosa serve sapere che in $RR^N$ tutte le norme sono equivalenti. E' solo un esercizio oppure ha utilizzi nella teoria?
Questa dell'equivalenza delle norme finito dimensionali è una cosa interessante. Per esempio, la puoi vedere in concreto come una fabbrica di disuguaglianze. Diciamo di avere la funzione $f(x, y)=|x+y|+2|x-y|$ (questa funzione ©ViciousGoblin 
). $f$ è una norma su $RR^2$ e quindi, per il teorema precedente, esistono costanti $C_1, C_2$ tali che
$forall x, y \in RR,\quad C_1sqrt(x^2+y^2)\le |x+y|+2|x-y| \le C_2 sqrt(x^2+y^2)$.
Dimostrare questa disuguaglianza direttamente non è proprio immediato, direi. Una conseguenza è che la funzione
$F(x, y)=frac{|x+y|+2|x-y|}{sqrt(x^2+y^2}}$
è limitata in $RR^2-{(0,0)}$, per dirne una. Anche qui, una cosa che si può dimostrare direttamente, ma c'è da lavoricchiare un po': bisogna calcolare il limite nell'origine e all'infinito.
Poi, a livello un po' più astratto, mediante questo risultato puoi facilmente descrivere la struttura di spazio normato di un prodotto cartesiano di spazi normati. Prendi spazi normati $X$ e $Y$. Lo spazio $X times Y$ ha una sua struttura standard di spazio vettoriale e se definiamo
$|| (x, y)||_{X times Y}=sqrt{||x||_X^2+||y||_Y^2}$
introduciamo una norma su di esso. Ma si potrebbe obiettare che anche
$||(x, y)|_{X times Y}=||x||_X +||y||_Y$
è una norma valida. Più in generale, data una norma $n$ su $RR^2$, la
$||(x, y)||_{X \times Y}=n(||x||_X, ||y||_Y)$
è una norma valida. Che relazione c'è tra tutte queste norme? Una relazione molto stretta: esse sono tutte equivalenti. E quindi, tipicamente potremo scegliere una qualunque di esse, quella più comoda, sapendo che se ne avessimo presa un'altra avremmo avuto lo stesso risultato.
E questa è una cosa che si fa comunemente, eh. Gli spazi di Sobolev si possono normare seguendo proprio questo principio. Insomma, questo risultato è secondo me piuttosto significativo. Non sarà proprio fondamentale, ma ha la sua importanza.
). $f$ è una norma su $RR^2$ e quindi, per il teorema precedente, esistono costanti $C_1, C_2$ tali che$forall x, y \in RR,\quad C_1sqrt(x^2+y^2)\le |x+y|+2|x-y| \le C_2 sqrt(x^2+y^2)$.
Dimostrare questa disuguaglianza direttamente non è proprio immediato, direi. Una conseguenza è che la funzione
$F(x, y)=frac{|x+y|+2|x-y|}{sqrt(x^2+y^2}}$
è limitata in $RR^2-{(0,0)}$, per dirne una. Anche qui, una cosa che si può dimostrare direttamente, ma c'è da lavoricchiare un po': bisogna calcolare il limite nell'origine e all'infinito.
Poi, a livello un po' più astratto, mediante questo risultato puoi facilmente descrivere la struttura di spazio normato di un prodotto cartesiano di spazi normati. Prendi spazi normati $X$ e $Y$. Lo spazio $X times Y$ ha una sua struttura standard di spazio vettoriale e se definiamo
$|| (x, y)||_{X times Y}=sqrt{||x||_X^2+||y||_Y^2}$
introduciamo una norma su di esso. Ma si potrebbe obiettare che anche
$||(x, y)|_{X times Y}=||x||_X +||y||_Y$
è una norma valida. Più in generale, data una norma $n$ su $RR^2$, la
$||(x, y)||_{X \times Y}=n(||x||_X, ||y||_Y)$
è una norma valida. Che relazione c'è tra tutte queste norme? Una relazione molto stretta: esse sono tutte equivalenti. E quindi, tipicamente potremo scegliere una qualunque di esse, quella più comoda, sapendo che se ne avessimo presa un'altra avremmo avuto lo stesso risultato.
E questa è una cosa che si fa comunemente, eh. Gli spazi di Sobolev si possono normare seguendo proprio questo principio. Insomma, questo risultato è secondo me piuttosto significativo. Non sarà proprio fondamentale, ma ha la sua importanza.
Una domanda...
Abbiamo visto che se [tex]$\dim X<\infty$[/tex] allora tutte le norme su [tex]$X$[/tex] sono (topologicamente) equivalenti.
Ma vale anche il viceversa? Ossia, se tutte le norme su uno s.v. [tex]$X$[/tex] sono equivalenti è necessariamente vero che [tex]$\dim X<\infty$[/tex]?
In altri termini, è possibile caratterizzare gli spazi finito-dimensionali mediante l'equivalenza topologica di tutte le loro possibili norme?
Abbiamo visto che se [tex]$\dim X<\infty$[/tex] allora tutte le norme su [tex]$X$[/tex] sono (topologicamente) equivalenti.
Ma vale anche il viceversa? Ossia, se tutte le norme su uno s.v. [tex]$X$[/tex] sono equivalenti è necessariamente vero che [tex]$\dim X<\infty$[/tex]?
In altri termini, è possibile caratterizzare gli spazi finito-dimensionali mediante l'equivalenza topologica di tutte le loro possibili norme?
Secondo me è vero: se tutte le norme sono equivalenti allora lo spazio ha dimensione finita. Però ti parlo così, a naso.
L'idea sarebbe di usare questo fatto: se $X$ ha dimensione infinita esiste un insieme infinito $J$ tale che $X$ può essere identificato a
${(x_alpha)_{alpha \in J} \in RR^J\ | \ x_\alpha=0\ "per quasi ogni "\alpha},$
("per quasi ogni" nel senso: "tranne, al più, per un numero finito di").
Se $J$ è infinito qua sopra si possono sempre trovare due norme non equivalenti, e io penserei a
$||(x_alpha)||_1=\sum_{alpha \in J}|x_alpha|;$
$||(x_alpha)||_2=(\sum_{\alpha \in J} |x_alpha|^2)^{1/2}$.
Boh, chissà se funziona.
L'idea sarebbe di usare questo fatto: se $X$ ha dimensione infinita esiste un insieme infinito $J$ tale che $X$ può essere identificato a
${(x_alpha)_{alpha \in J} \in RR^J\ | \ x_\alpha=0\ "per quasi ogni "\alpha},$
("per quasi ogni" nel senso: "tranne, al più, per un numero finito di").
Se $J$ è infinito qua sopra si possono sempre trovare due norme non equivalenti, e io penserei a
$||(x_alpha)||_1=\sum_{alpha \in J}|x_alpha|;$
$||(x_alpha)||_2=(\sum_{\alpha \in J} |x_alpha|^2)^{1/2}$.
Boh, chissà se funziona.
@dissonance: Insomma, suggerisci di usare una base di Hamel di [tex]$X$[/tex] in modo da identificare [tex]$X$[/tex] con [tex]$c_{00}(J)$[/tex] (per un opportuno insieme infinito [tex]$J$[/tex]) e quindi di lavorare in [tex]$c_{00}(J)$[/tex]... Credo si possa fare.
Ad esempio, dalla teoria di Lebesgue sappiamo che [tex]$\lVert \cdot \rVert_1$[/tex] e [tex]$\lVert \cdot \rVert_\infty$[/tex] sono norme su [tex]$c_{00} (J)$[/tex]; ma tali norme non sono equivalenti.
Per assurdo, supponiamo che esista una costante universale [tex]$\beta \geq 0$[/tex] tale che [tex]\lVert x\rVert_1 \leq \beta \lVert x\rVert_\infty[/tex] per ogni [tex]$x\in X$[/tex]; preso [tex]$x$[/tex] in modo che per ogni [tex]$j\in J$[/tex] tale che [tex]$|x_j|\neq 0$[/tex] si abbia [tex]$x_j=1$[/tex], troviamo:
[tex]$\lVert x\rVert_\infty =1$[/tex] e [tex]$\lVert x\rVert_1=\sum_{j\in J} |x_j|=\omega (x)$[/tex],
ove [tex]$\omega (x)=\sharp \{ j\in J:\ |x_j|\neq 0\} <\infty$[/tex]; conseguentemente deve essere [tex]$\omega (x)\leq \beta$[/tex], il che è assurdo, perchè avendo [tex]$J$[/tex] cardinalità infinita si può scegliere [tex]$x$[/tex] con un numero arbitrariamente alto di elementi [tex]$=1$[/tex].
Che te ne pare?
Ad esempio, dalla teoria di Lebesgue sappiamo che [tex]$\lVert \cdot \rVert_1$[/tex] e [tex]$\lVert \cdot \rVert_\infty$[/tex] sono norme su [tex]$c_{00} (J)$[/tex]; ma tali norme non sono equivalenti.
Per assurdo, supponiamo che esista una costante universale [tex]$\beta \geq 0$[/tex] tale che [tex]\lVert x\rVert_1 \leq \beta \lVert x\rVert_\infty[/tex] per ogni [tex]$x\in X$[/tex]; preso [tex]$x$[/tex] in modo che per ogni [tex]$j\in J$[/tex] tale che [tex]$|x_j|\neq 0$[/tex] si abbia [tex]$x_j=1$[/tex], troviamo:
[tex]$\lVert x\rVert_\infty =1$[/tex] e [tex]$\lVert x\rVert_1=\sum_{j\in J} |x_j|=\omega (x)$[/tex],
ove [tex]$\omega (x)=\sharp \{ j\in J:\ |x_j|\neq 0\} <\infty$[/tex]; conseguentemente deve essere [tex]$\omega (x)\leq \beta$[/tex], il che è assurdo, perchè avendo [tex]$J$[/tex] cardinalità infinita si può scegliere [tex]$x$[/tex] con un numero arbitrariamente alto di elementi [tex]$=1$[/tex].
Che te ne pare?
Mi pare che funzioni correttamente. $c_{00}(J)$... m'ero scordato che si chiamava così!
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