Equivalenza definizione di differenziabilità in un punto
Buongiorno a tutti, sto cercando di provare quanto segue:
\(\displaystyle f:E\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) differenziabile in \(\displaystyle x_0\in E \Leftrightarrow f(x)-f(x_0)=\phi(x)(x-x_0) \) con \(\displaystyle \phi \) continua in \(\displaystyle x_0 \).
Ho un dubbio nell'implicazione \(\displaystyle \Rightarrow \), in quanto io dall'ipotesi posso dedurre che:
$$f(x)-f(x_0)=\left(f'(x_0)+\alpha(x)\right) (x-x_0)$$
dove \(\displaystyle \lim_{E\ni x\to x_0}\alpha (x) = 0 \).
Dunque devo provare che la funzione:
\(\displaystyle \phi (x) = f'(x_0)+\alpha(x)\) sia continua in \(\displaystyle x_0 \), ovvero che \(\displaystyle \alpha (x_0)=0 \).
Come posso fare se addirittura, in generale, \(\displaystyle \alpha(x_0) \) potrebbe anche non essere definito affatto?
\(\displaystyle f:E\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) differenziabile in \(\displaystyle x_0\in E \Leftrightarrow f(x)-f(x_0)=\phi(x)(x-x_0) \) con \(\displaystyle \phi \) continua in \(\displaystyle x_0 \).
Ho un dubbio nell'implicazione \(\displaystyle \Rightarrow \), in quanto io dall'ipotesi posso dedurre che:
$$f(x)-f(x_0)=\left(f'(x_0)+\alpha(x)\right) (x-x_0)$$
dove \(\displaystyle \lim_{E\ni x\to x_0}\alpha (x) = 0 \).
Dunque devo provare che la funzione:
\(\displaystyle \phi (x) = f'(x_0)+\alpha(x)\) sia continua in \(\displaystyle x_0 \), ovvero che \(\displaystyle \alpha (x_0)=0 \).
Come posso fare se addirittura, in generale, \(\displaystyle \alpha(x_0) \) potrebbe anche non essere definito affatto?
Risposte
La $\phi$ com'è quantificato? Esistenzialmente giusto? E allora pensaci te a definire la $\alpha$ in $0$.
Immaginavo che si dovesse concludere in tal modo, il mio dubbio era sul fatto che la definizione prevedesse il quantificatore \(\displaystyle \exists \) non su \(\displaystyle \alpha \) in maniera diretta, ma sulla funzione lineare \(\displaystyle L(x)=f'(x_0)(x-x_0) \), la quale deve avere la proprietà di verificare la seguente:
\(\displaystyle f(x)-f(x_0)=L(x)+\mathcal{o}(x-x_0) \quad (1)\)
per \(\displaystyle E\ni x\to x_0 \).
Dunque direi che il ragionamento corretto deve essere strutturato così:
\(\displaystyle f \) differenziabile in \(\displaystyle x_0\Rightarrow \exists L(x) \) tale che (1) \(\displaystyle \Rightarrow \) tra l'insieme delle infinite funzioni \(\displaystyle \alpha \) (*) che compaiono in (1) posso sceglierne in particolare una tra tutte quelle caratterizzate dal fatto che \(\displaystyle \alpha(x_0)=0 \) \(\displaystyle \Rightarrow \) (1) continua a valere ed in particolare ho anche che \(\displaystyle f(x)-f(x_0)=\underbrace{\left(f'(x_0)+\alpha(x) \right)}_{\text{continua in \(\displaystyle x_0 \)}} (x-x_0) \)
Mi puoi dare una conferma per favore?
(*) \(\displaystyle \mathcal{o}(x-x_0) = \alpha (x)(x-x_0) \) con \(\displaystyle \alpha \) infinitesima in \(\displaystyle E\ni x\to x_0 \).
\(\displaystyle f(x)-f(x_0)=L(x)+\mathcal{o}(x-x_0) \quad (1)\)
per \(\displaystyle E\ni x\to x_0 \).
Dunque direi che il ragionamento corretto deve essere strutturato così:
\(\displaystyle f \) differenziabile in \(\displaystyle x_0\Rightarrow \exists L(x) \) tale che (1) \(\displaystyle \Rightarrow \) tra l'insieme delle infinite funzioni \(\displaystyle \alpha \) (*) che compaiono in (1) posso sceglierne in particolare una tra tutte quelle caratterizzate dal fatto che \(\displaystyle \alpha(x_0)=0 \) \(\displaystyle \Rightarrow \) (1) continua a valere ed in particolare ho anche che \(\displaystyle f(x)-f(x_0)=\underbrace{\left(f'(x_0)+\alpha(x) \right)}_{\text{continua in \(\displaystyle x_0 \)}} (x-x_0) \)
Mi puoi dare una conferma per favore?
(*) \(\displaystyle \mathcal{o}(x-x_0) = \alpha (x)(x-x_0) \) con \(\displaystyle \alpha \) infinitesima in \(\displaystyle E\ni x\to x_0 \).
Ma $\alpha(x)$ com'è fatta?
@otta96
E chi lo sa, non serve saperlo. Dalla definizione basta solo sapere che sia infinitesima per \(\displaystyle E \ni x\to x_0 \).
Mi sbaglio?
@gugo82
Se non ti dispiace, io vorrei provare a riprendere l'argomento rispondendo alla tua ultima domanda, perché l'argomento mi intriga.
Magari continuo qui che la discussione è più recente.
Da quanto ho avuto modo di capire direi che innanzitutto, affinché \(\displaystyle f\in \mathcal{C}^{(1)}((a,b)) \) con \(\displaystyle (a,b)\subset \mathbb{R} \) dominio di definizione di \(\displaystyle f \), occorre che per ogni \(\displaystyle x_0 \in (a,b) \) esista una funzione \(\displaystyle \phi_{x_0} \), con dominio di definizione che inglobi \(\displaystyle (a,b) \) e continua in \(\displaystyle x_0 \), che verifichi:
\(\displaystyle f(x)-f(x_0)=\phi_{x_0}(x)(x-x_0) \)
Ciò non basta perché occorre anche verificare che la funzione che ne deriva: \(\displaystyle \phi (x):= \phi_x(x) \), definita sull'intersezione dei domini delle varie \(\displaystyle \phi_{x_0} \), \(\displaystyle {x_0} \in (a,b) \), sia continua.
Giusto?
Era mia intenzione provare ad estendere l'idea iniziale a questa:
\(\displaystyle f:E\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} \)
\(\displaystyle x_0 \in E\) e di accumulazione per \(\displaystyle E \).
\(\displaystyle f(x)-f(x_0)=\underbrace{\phi_{x_0}(x)}_{\phi_{x_0}:U(x_0)\to\mathbb{R}\\ \phi_{x_0}\in \mathcal{C}^{(n)}(U(x_0)) \\ E\subset U(x_0)}(x-x_0) \Rightarrow \exists f^{(n+1)}(x_0)\)
ma la cosa mi sta risultando molto ostica, poiché la derivazione in un punto già all'ordine due si basa sull'esistenza della derivata prima in un insieme di punti per il quale \(\displaystyle x_0 \) sia ancora di accumulazione. Ma ciò non è affatto garantito, anzi, \(\displaystyle \phi_{x_0}(x) \) permette di fare deduzioni solo sulla derivabilità in \(\displaystyle x_0 \) e non altrove.
E chi lo sa, non serve saperlo. Dalla definizione basta solo sapere che sia infinitesima per \(\displaystyle E \ni x\to x_0 \).
Mi sbaglio?
@gugo82
Se non ti dispiace, io vorrei provare a riprendere l'argomento rispondendo alla tua ultima domanda, perché l'argomento mi intriga.
Magari continuo qui che la discussione è più recente.
"gugo82":
Ora vi chiedo: è possibile formalizzare il concetto di funzione di classe [tex]$C^1$[/tex] con la nuova definizione?
Ed in che rapporto è la nuova definizione con la definizione classica?
Da quanto ho avuto modo di capire direi che innanzitutto, affinché \(\displaystyle f\in \mathcal{C}^{(1)}((a,b)) \) con \(\displaystyle (a,b)\subset \mathbb{R} \) dominio di definizione di \(\displaystyle f \), occorre che per ogni \(\displaystyle x_0 \in (a,b) \) esista una funzione \(\displaystyle \phi_{x_0} \), con dominio di definizione che inglobi \(\displaystyle (a,b) \) e continua in \(\displaystyle x_0 \), che verifichi:
\(\displaystyle f(x)-f(x_0)=\phi_{x_0}(x)(x-x_0) \)
Ciò non basta perché occorre anche verificare che la funzione che ne deriva: \(\displaystyle \phi (x):= \phi_x(x) \), definita sull'intersezione dei domini delle varie \(\displaystyle \phi_{x_0} \), \(\displaystyle {x_0} \in (a,b) \), sia continua.
Giusto?
Era mia intenzione provare ad estendere l'idea iniziale a questa:
\(\displaystyle f:E\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} \)
\(\displaystyle x_0 \in E\) e di accumulazione per \(\displaystyle E \).
\(\displaystyle f(x)-f(x_0)=\underbrace{\phi_{x_0}(x)}_{\phi_{x_0}:U(x_0)\to\mathbb{R}\\ \phi_{x_0}\in \mathcal{C}^{(n)}(U(x_0)) \\ E\subset U(x_0)}(x-x_0) \Rightarrow \exists f^{(n+1)}(x_0)\)
ma la cosa mi sta risultando molto ostica, poiché la derivazione in un punto già all'ordine due si basa sull'esistenza della derivata prima in un insieme di punti per il quale \(\displaystyle x_0 \) sia ancora di accumulazione. Ma ciò non è affatto garantito, anzi, \(\displaystyle \phi_{x_0}(x) \) permette di fare deduzioni solo sulla derivabilità in \(\displaystyle x_0 \) e non altrove.
"Ianero":
Era mia intenzione provare ad estendere l'idea iniziale a questa:
\(\displaystyle f:E\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} \)
\(\displaystyle x_0 \in E\) e di accumulazione per \(\displaystyle E \).
\(\displaystyle f(x)-f(x_0)=\underbrace{\phi_{x_0}(x)}_{\phi_{x_0}:U(x_0)\to\mathbb{R}\\ \phi_{x_0}\in \mathcal{C}^{(n)}(U(x_0)) \\ E\subset U(x_0)}(x-x_0) \Rightarrow \exists f^{(n+1)}(x_0)\)
ma la cosa mi sta risultando molto ostica, poiché la derivazione in un punto già all'ordine due si basa sull'esistenza della derivata prima in un insieme di punti per il quale \(\displaystyle x_0 \) sia ancora di accumulazione. Ma ciò non è affatto garantito, anzi, \(\displaystyle \phi_{x_0}(x) \) permette di fare deduzioni solo sulla derivabilità in \(\displaystyle x_0 \) e non altrove.
Credo di avercela fatta, oggi provo a postare i passaggi, ora devo scappare.
Se avrete tempo poi per confermarmeli mi farà piacere.
Ecco i passaggi.
Per ipotesi:
\( \displaystyle f(x)-f(x_0)=\underbrace{\phi_{x_0}(x)}_{\phi_{x_0}\in \mathcal{C}^{(n)}(U(x_0)) \\ E\subset U(x_0)}(x-x_0) \)
dove \( \displaystyle f:E\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \(\displaystyle \phi_{x_0}:U(x_0)\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( \displaystyle x_0 \in E \) e di accumulazione per $E$, \(\displaystyle U(x_0) \) intorno di \(\displaystyle x_0 \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Dunque si può scrivere che:
$$ f(x)=f(x_0)+\phi_{x_0}(x)(x-x_0),\quad\forall x\in E\subset U(x_0).$$
Poiché \(\displaystyle \phi_{x_0}(x) \) è differenziabile in \(\displaystyle U(x_0) \), allora lo è anche in ogni punto di accumulazione di $E$ che sia contenuto in $E$. L'insieme di questi punti lo indico con \(\displaystyle E' \). Stessa cosa vale per \(\displaystyle (x-x_0) \). Infine \(\displaystyle f(x_0) \) è una costante è dunque non fa sorgere problemi.
Di conseguenza \(\displaystyle \exists f'(x) \), \(\displaystyle \forall x\in E' \). Tale derivata, nel generico \(\displaystyle x\in E' \), vale:
$$ f'(x)=\phi'_{x_0}(x)(x-x_0)+\phi_{x_0}(x),\quad\forall x\in E' .$$
Siccome per ipotesi \(\displaystyle \phi_{x_0}(x) \in \mathcal{C}^{(n)}(U(x_0)) \), e quindi \(\displaystyle \phi_{x_0}(x) \in \mathcal{C}^{(n)}(E') \), si può ripetere il discorso appena fatto \(\displaystyle n \) volte, arrivando a:
$$ f^{(k)}(x)=\phi^{(k)}_{x_0}(x)(x-x_0)+k\phi^{(k-1)}_{x_0}(x),\quad\forall x\in E' , k\in \{1,2,...,n\} .$$
A questo punto per concludere bisogna verificare che esista il limite seguente:
\(\displaystyle f^{(n+1)}(x_0)=\lim_{E'\ni x\to x_0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{x-x_0}=\lim_{E'\ni x\to x_0}\frac{\phi^{(n)}_{x_0}(x)(x-x_0)+n\phi^{(n-1)}_{x_0}(x)-f^{(n)}(x_0)}{x-x_0}= \)
\(\displaystyle =\lim_{E'\ni x\to x_0}\phi^{(n)}_{x_0}(x)+\lim_{E'\ni x\to x_0}\frac{n\bigg(\phi^{(n-1)}_{x_0}(x_0)+\phi^{(n)}_{x_0}(x_0)(x-x_0)+\mathcal{o}(x-x_0)\bigg)-n\phi^{(n-1)}_{x_0}(x_0)}{x-x_0} =(n+1)\lim_{E'\ni x\to x_0}\phi^{(n)}_{x_0}(x)\)
che esiste per ipotesi di continuità di \(\displaystyle \phi^{(n)}_{x_0}(x) \) e vale:
$$ f^{(n+1)}(x_0)=(n+1)\phi^{(n)}_{x_0}(x_0). $$
Mi pare fili.
A voi?
Per ipotesi:
\( \displaystyle f(x)-f(x_0)=\underbrace{\phi_{x_0}(x)}_{\phi_{x_0}\in \mathcal{C}^{(n)}(U(x_0)) \\ E\subset U(x_0)}(x-x_0) \)
dove \( \displaystyle f:E\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \(\displaystyle \phi_{x_0}:U(x_0)\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R} \), \( \displaystyle x_0 \in E \) e di accumulazione per $E$, \(\displaystyle U(x_0) \) intorno di \(\displaystyle x_0 \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \).
Dunque si può scrivere che:
$$ f(x)=f(x_0)+\phi_{x_0}(x)(x-x_0),\quad\forall x\in E\subset U(x_0).$$
Poiché \(\displaystyle \phi_{x_0}(x) \) è differenziabile in \(\displaystyle U(x_0) \), allora lo è anche in ogni punto di accumulazione di $E$ che sia contenuto in $E$. L'insieme di questi punti lo indico con \(\displaystyle E' \). Stessa cosa vale per \(\displaystyle (x-x_0) \). Infine \(\displaystyle f(x_0) \) è una costante è dunque non fa sorgere problemi.
Di conseguenza \(\displaystyle \exists f'(x) \), \(\displaystyle \forall x\in E' \). Tale derivata, nel generico \(\displaystyle x\in E' \), vale:
$$ f'(x)=\phi'_{x_0}(x)(x-x_0)+\phi_{x_0}(x),\quad\forall x\in E' .$$
Siccome per ipotesi \(\displaystyle \phi_{x_0}(x) \in \mathcal{C}^{(n)}(U(x_0)) \), e quindi \(\displaystyle \phi_{x_0}(x) \in \mathcal{C}^{(n)}(E') \), si può ripetere il discorso appena fatto \(\displaystyle n \) volte, arrivando a:
$$ f^{(k)}(x)=\phi^{(k)}_{x_0}(x)(x-x_0)+k\phi^{(k-1)}_{x_0}(x),\quad\forall x\in E' , k\in \{1,2,...,n\} .$$
A questo punto per concludere bisogna verificare che esista il limite seguente:
\(\displaystyle f^{(n+1)}(x_0)=\lim_{E'\ni x\to x_0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{x-x_0}=\lim_{E'\ni x\to x_0}\frac{\phi^{(n)}_{x_0}(x)(x-x_0)+n\phi^{(n-1)}_{x_0}(x)-f^{(n)}(x_0)}{x-x_0}= \)
\(\displaystyle =\lim_{E'\ni x\to x_0}\phi^{(n)}_{x_0}(x)+\lim_{E'\ni x\to x_0}\frac{n\bigg(\phi^{(n-1)}_{x_0}(x_0)+\phi^{(n)}_{x_0}(x_0)(x-x_0)+\mathcal{o}(x-x_0)\bigg)-n\phi^{(n-1)}_{x_0}(x_0)}{x-x_0} =(n+1)\lim_{E'\ni x\to x_0}\phi^{(n)}_{x_0}(x)\)
che esiste per ipotesi di continuità di \(\displaystyle \phi^{(n)}_{x_0}(x) \) e vale:
$$ f^{(n+1)}(x_0)=(n+1)\phi^{(n)}_{x_0}(x_0). $$
Mi pare fili.
A voi?
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