Equivalenza asintotica

[melli13]

Per $x ->+ infty$, se $f(x) sim ax+b$ allora la retta $y=ax+b$ è un asintoto obliquo per $f(x)$. Questa affermazione è vero o falsa?
La mia ipotesi è quindi che $lim_(x ->+ infty) f(x)/(ax+b) = 1$ e devo arrivare a dire che $lim_(x ->+ infty) f(x)/x=a$ e $lim_(x ->+ infty) f(x)-ax=b$ ma come faccio?ho provato ad appliocare la definizione di limite, ma non vado da nessuna parte....

[_prime_number]

No, la tua ipotesi è
$\lim_{x\to +\infty}(f(x))/(ax+b)=C<\infty$.
Si può iniziare mostrando che il seguente limite è finito:
$\lim_{x\to +\infty}(f(x))/x=\lim_{x\to +\infty}(f(x))/(ax+b) (ax+b)/x=C a$

Paola

[melli13]

E perchè? In tutti i testi ho trovato che per definizione di quel limite debba essere 1...E quindi se è così come mi dici è falsa l'affermazione perchè invece di a ottengo Ca, giusto? Grazie mille per avermi risposto...

[Giuly191]

A me pare un esercizio stupido, ti basta ricordare la definizione di asintotico (che è quella che dici tu). Infatti dire che per $x-> +oo$ $f(x) sim ax + b $ ha poco senso perchè è esattamente come dire $f(x) sim ax$, proprio perchè $lim_(x->+oo) f(x)/(ax + b) = lim_(x->+oo) f(x)/(ax) $. Da questo ne deduci che l'affermazione è falsa, in quanto che $f(x) sim ax$ quando $x->+oo$ non è sufficiente per l'asintoto obliquo (trovi subito un controesempio se ci pensi un attimo).
Sarebbe necessario e sufficiente dire che $f(x) = ax + b + o(1) $ per $x->+oo$.

[melli13]

Non ci sono....! Allora ho capito che $f(x) sim ax$ quando $x->oo$, ma perchè non è sufficiente per l'asintoto obliquo? Ora dobbiamo verificare se $f(x)-ax->b$ quando $x->oo$. Ah forse perchè questo limite non tende a b, ma a 0 giusto??

[Giuly191]

No, è molto importante osservare che $lim_(x->+oo) f(x)/x = 1$ non implica $lim_(x->+oo) f(x) - x = 0 $. E te ne dovresti essere accorto proprio studiando gli asintoti obliqui!
Ad ogni modo considera $f(x) = x + logx $. Evidentemente $f(x) sim x$ quando $x->+oo$, eppure $ lim_(x->+oo) f(x) - x = lim_(x->+oo) log x = + oo $.