Equivalenza asintotica

[gugo82]

Ho un dubbio che mi ronza in testa da stamattina...

Se ho delle funzioni [tex]$F,G,f$[/tex] abbastanza buone tali che:

[tex]$\begin{cases} f(x)\to 0,\ G(x)\approx |x-x_0|^b &\text{, per $x\to x_0$} \\ F(y)\approx y^a &\text{, per $y\to 0$}\end{cases}$[/tex]

e so che [tex]$F(f(x))=G(x)$[/tex], posso concludere che [tex]$f(x)\approx |x-x_0|^{b/a}$[/tex] per [tex]$x\to x_0$[/tex]?

Oppure, nell'ipotesi più debole:

[tex]$\begin{cases} f(x)\to 0,\ G(x)\approx |x-x_0|^b &\text{, per $x\to x_0$} \\ F(y)=\text{O}(y^a) &\text{, per $y\to 0$}\end{cases}$[/tex]

si può concludere che [tex]$f(x)=\text{O} (|x-x_0|^{b/a})$[/tex]?

[Raptorista1]

Ok, ci provo io
Secondo me è vera la prima, segue la motivazione.
[tex]\begin{cases}
x \to x_0 \\
G(x) \sim |x - x_0|^b \\
F(f(x)) \sim |x - x_0|^b \\
F(f(x)) \sim f(x)^a
\end{cases}[/tex]
Da cui, sfruttando il fatto che [tex]\sim[/tex] è una relazione d'equivalenza,
[tex]\displaystyle f(x)^a \sim |x - x_0|^b \Leftrightarrow f(x) \sim |x - x_0|^{\frac{b}{a}}[/tex]

Che ne dici?