Equazioni rette passanti per un punto

[alfi.93]

Salve, ho quest'esercizio di geometria che non riesco a risolvere:
"scrivere le equazioni di due rette passanti per un punto P(1,-3,0) e rispettivamente perpendicolare e parallela al piano di equazione: x-2y+3z-3=0"

mi servirebbe capire il meccanismo, magari quindi se riuscite anche a spiegarmelo.
grazie mille :hi :hi :hi

[mc2]

L'equazione del piano ci dice subito le componenti di un vettore ortogonale al piano stesso: sono i coefficienti delle variabili x,y,z.

Quindi il vettore

[math]\vec{n}=(1,-2,3)[/math]

e` ortogonale al piano.

La retta passante per P e perpendicolare al piano ha la forma parametrica:

[math]\left\{\begin{array}[c]{l}
x=1+t \\
y=-3-2t \\
z=3t
\end{array}\right.
[/math]

Eliminando t puoi scriverla nella forma:

[math]3(x-1)-z=2(x-1)+y+3=0[/math]

Aggiunto 24 minuti più tardi:

Invece le rette passanti per P e parallele al piano sono infinite e formano un piano parallelo al piano dato.
La sua equazione ha la forma

[math]x-2y+3z+q=0[/math]

ed il parametro q va determinato in modo che il piano passi per P:

[math]1-2(-3)+3\cdot 0+q=0[/math]

,

[math]q=-7[/math]

Quindi il piano per P e parallelo al piano dato e` :

[math]x-2y+3z-7=0[/math]

Ora puoi scegliere una qualunque retta di questo piano passante per P e questa retta soddisfa le condizioni richieste. Per esempio puoi intersecare il piano trovato con il piano z=0 (che contiene P): ottieni la retta

[math]x-2y-7=z=0[/math]