Equazioni parametriche (59346)

[Kia**]

Discutere al variare del parametro reale a il numero di soluzioni reali delle equazioni:
∛ax-logx=1
e^x=ax^3
∛x-logx+a=0



Me ne basta anche solo una, giusto per avere un'idea del procedimento, grazie mille in anticipo a chiunque risponderà XD

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Perfetto! Sei stato chiarissimo! Grazie mille!

[ciampax]

Il risultato da usare è il teorema di esistenza degli zeri, il quale afferma quanto segue: se

[math]f[/math]

è continua su

[math][a,b][/math]

e derivabile su

[math](a,b)[/math]

e si ha che

[math]f(a)\cdot f(b)0[/math]

si ha

[math]f'(x)>0[/math]

se e solo se

[math]\sqrt[3]{ax}-3\geq 0[/math]

per cui si ha che

se

[math]a>0[/math]

allora

[math]f'(x)>0, x>\frac{27}{a}[/math]

se

[math]a\geq 0[/math]

allora

[math]f'(x)0[/math]

allora la funzione decresce su

[math](0,27/a)[/math]

e cresce su

[math](27/a,+\infty)[/math]

. In

[math]x=27/a[/math]

si ha un minimo che vale

[math]f(27/a)=\sqrt[3]{27}-\log(27/a)-1=2-\log(27/a)[/math]

per cui

se

[math]2-\log(27/a)>0[/math]

cioè

[math]a>27/e^2[/math]

la funzione risulta sempre positiva sul dominio e quindi non ha zeri;

se

[math]2-\log(27/a)=0[/math]

cioè

[math]a=27/e^2[/math]

la funzione interseca l'asse delle ascisse nel punto

[math]x=27/a[/math]

che è l'unico zero;

se [math]2-\log(27/a)