Equazioni numeri complessi

[giovanta-votailprof]

Sto studiando i numeri complessi e ho chiaro tutto tranne come risolvere le equazioni di secondo grado coi numeri complessi.

Per esempio:

$z^2 + 2iz - 3 + 2sqrt3i = 0$

Ad esercitazione e sul libro ho visto questo metodo:

Trovo il $Delta$
trovo $w_{0}$ , $w_{1}$ $in$ $CC$
uso la formula risolutiva $z_{i}= (-b + w_{i})/(2a)$ con $i=0,1$

Ma non riesco a svolgerlo dal punto di vista pratico. Gentilmente se qualcuno ha la pazienza di mostrarmi il procedimento, gliene sarei grato!

[gugo82]

Beh, l'equazione di secondo grado si risolve con la solita formula, ossia $az^2+bz+c=0$ se e solo se $z=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)$, solo che questa volta devi calcolare le due determinazioni complesse della radice $sqrt(b^2-4ac)$ (dato che, come saprai, la radice quadrata di un numero complesso ha due valori distinti in $CC$).

Per calcolare le radici c'è la formuletta; se non la ricordi, valla un attimo a recuperare sul libro di teoria.
Poi prova a postare due passaggi, così vediamo dove sbagli.

[franced]

"giovanta":

$z^2 + 2iz - 3 + 2sqrt3i = 0$

Il $Delta$ viene

$Delta = (2i)^2 - 4 * (1) * ( - 3 + 2 sqrt(3) i ) = 8 - 8 sqrt(3) i$

ci sei fino a qui?

[giovanta-votailprof]

OK. quindi procedendo nei calcoli:
$|w_i|=sqrt64+192=sqrt256=16 => w=16e^i5/3pi$

Quindi $w_1=4[cos(5/3pi)/2 + i sen (5/3pi)/2]=4[cos(5/6pi)+isen(5/6pi)]=4.(-sqrt3/2)+i(4).(1/2)=-2sqrt3 + 2i$
$w2=4[cos(5/3pi +2pi)/2 + isen(5/3pi+2pi)/2]=4cos[(11/6pi)+isen(11/6pi)]=2sqrt3-i

sostituendo i valori del delta nella formula risolutiva troviamo
$z_1=(-2i-2sqrt3+2i)/2=-sqrt3$
$z_2=(-2i+2sqrt3-2i)/2=sqrt3 - 2i$

giusto?

[giovanta-votailprof]

In un altro esercizio mi veniva richiesto di decomporre $P(z) : z^3-z^2+z+1+2=0$ in fattori irriducibili (cioè in modo che non abbia radici) sia in $RR$ sia in $CC$. Come si fa?

Inoltre ho trovato problemi su quest'altra equazione.
$z^3-2z^2+z-2=0
Scrivo la soluzione fornita dal libro e vi indico il passaggio che non ho capito.
Osseviamo che $2^3-(2)2^2 + 2 - 2 =0 z=2$ è una soluzione
Ora dividiamo per $z-2$ Perchè? Non ho capito...
$(z-2)(z^2+1)=0$
$z_1=2$ , $z^2+1=0 => z^2=-1 => z_2=i$ e $z_3=-i$

[franced]

"giovanta":
...
decomporre $P(z) : z^3-z^2+z+1+2=0$ in fattori irriducibili
...

Hai scritto bene il polinomio? Quel $1+2$ mi fa pensare di no..

[franced]

Per quanto riguarda l'equazione

$z^3-2z^2+z-2=0

puoi fare semplicemente un raccoglimento parziale

$z^2 (z - 2) + z - 2$

$(z^2 + 1)(z - 2)$ .

[franced]

"giovanta":
...
sostituendo i valori del delta nella formula risolutiva troviamo
$z_1=(-2i-2sqrt3+2i)/2=-sqrt3$
$z_2=(-2i+2sqrt3-2i)/2=sqrt3 - 2i$

Ok, le soluzioni sono esatte.
Le puoi controllare svolgendo il prodotto

$(z + sqrt(3)) (z - sqrt(3) + 2 i)$ .

[giovanta-votailprof]

franced:Hai scritto bene il polinomio? Quel $1+2$ mi fa pensare di no..

purtroppo non trovo più il testo dell'esercizio, comunque potresti lo stesso spiegarmi il procedimento per un altro polinomio? (esempio $z^2+2z+2$)

[franced]

"giovanta": ...
(esempio $z^2+2z+2$)
...

Quello che hai scritto è un polinomio di secondo grado, quindi
non ci sono problemi.