Equazioni numeri complessi
Ciao..ho questa equazione con i numeri complessi che non so come terminare. Grazie per l'aiuto!
$z*|z|^2-isqrt3+1=0$
ho usato $z=x+iy$ e sostituendo ho $x^3+xy^2+ix^2y+iy^3-isqrt3+1=0$
Mettendo a sistema la parte reale e quella immaginaria:
$x^3+xy^2+1=0$
$x^2y+y^3-sqrt3=0$
ma adesso ho problemi con la risoluzione del sistema...come faccio?
è giusto se nella prima esplicito x: $x(x^2+y^2)+1=0$
e nella seconda y: $y(x^2+y^2)-sqrt3=0$
poi ho $(x^2+y^2)=-1/x$ e portandolo nella seconda ricavo $-y/x-sqrt3=0$ che ri-sostituisco nella prima
ottenendo $4x^3=-1$ $x=-1/(root(3)4)$
$z*|z|^2-isqrt3+1=0$
ho usato $z=x+iy$ e sostituendo ho $x^3+xy^2+ix^2y+iy^3-isqrt3+1=0$
Mettendo a sistema la parte reale e quella immaginaria:
$x^3+xy^2+1=0$
$x^2y+y^3-sqrt3=0$
ma adesso ho problemi con la risoluzione del sistema...come faccio?
è giusto se nella prima esplicito x: $x(x^2+y^2)+1=0$
e nella seconda y: $y(x^2+y^2)-sqrt3=0$
poi ho $(x^2+y^2)=-1/x$ e portandolo nella seconda ricavo $-y/x-sqrt3=0$ che ri-sostituisco nella prima
ottenendo $4x^3=-1$ $x=-1/(root(3)4)$
Risposte
Quella che fai è una possibilità, ma devi assumere $x\ne 0$ e $y\ne 0$, altrimenti non puoi dividere. Dopo dovrai controllare cosa accade se $x=0$ o se $y=0$, separatamente.
Un modo alternativo puo' essere quello di passare alla forma trigonometrica/esponenziale ponendo
$$z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)=\rho e^{i\theta}$$
Dal momento che $|z|^2=\rho^2$ possiamo scrivere
$$\rho^3(\cos\theta+i\sin\theta)-i\sqrt{3}+1=0$$
e uguagliando parte reale e coefficiente dell'immaginario
$$\rho^3\cos\theta=-1,\ \rho^3\sin\theta=+\sqrt{3}$$
Osservando che $\rho\ne 0$ altrimenti nessuna delle due è verificata, possiamo dividere la seconda per la prima e trovare
$$\tan\theta=-\sqrt{3}\ \Rightarrow\ \theta=frac{2\pi}{3},\ \theta=\frac{5\pi}{3}$$
Usando il primo valore sostituito nella prima delle due equazioni sopra si ricava
$$\rho^3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\ \Rightarrow\ \rho^3=2\ \Rightarrow\ \rho=\sqrt[3]{2}$$
mentre con l'altro valore si ha
$$\rho^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=-1\ \Rightarrow\ \rho^3=-2\ \Rightarrow\ \rho=-\sqrt[3]{2}$$
che non è accettabile in quanto $\rho\ge 0$ per definizione.
Pertanto la soluzione è
$$z=\sqrt[3]{2}\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
Un modo alternativo puo' essere quello di passare alla forma trigonometrica/esponenziale ponendo
$$z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)=\rho e^{i\theta}$$
Dal momento che $|z|^2=\rho^2$ possiamo scrivere
$$\rho^3(\cos\theta+i\sin\theta)-i\sqrt{3}+1=0$$
e uguagliando parte reale e coefficiente dell'immaginario
$$\rho^3\cos\theta=-1,\ \rho^3\sin\theta=+\sqrt{3}$$
Osservando che $\rho\ne 0$ altrimenti nessuna delle due è verificata, possiamo dividere la seconda per la prima e trovare
$$\tan\theta=-\sqrt{3}\ \Rightarrow\ \theta=frac{2\pi}{3},\ \theta=\frac{5\pi}{3}$$
Usando il primo valore sostituito nella prima delle due equazioni sopra si ricava
$$\rho^3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\ \Rightarrow\ \rho^3=2\ \Rightarrow\ \rho=\sqrt[3]{2}$$
mentre con l'altro valore si ha
$$\rho^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)=-1\ \Rightarrow\ \rho^3=-2\ \Rightarrow\ \rho=-\sqrt[3]{2}$$
che non è accettabile in quanto $\rho\ge 0$ per definizione.
Pertanto la soluzione è
$$z=\sqrt[3]{2}\left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
"ciampax":
Quella che fai è una possibilità, ma devi assumere $x\ne 0$ e $y\ne 0$, altrimenti non puoi dividere. Dopo dovrai controllare cosa accade se $x=0$ o se $y=0$, separatamente.
Facendo così mi ritrovo con la soluzione che ho trovato prima: $z=-1/(root(3)4)+ sqrt3/(root(3)4)i$ che però non è uguale alla soluzione da te trovata con l'altro metodo
E poi, mettendo nel sistema x=0 e y=0 per ognuna delle due una equazione del sistema non è soddisfatta. In questo caso non ci sono soluzioni esatto?
"mate947":
Facendo così mi ritrovo con la soluzione che ho trovato prima: $z=-1/(root(3)4)+ sqrt3/(root(3)4)i$ che però non è uguale alla soluzione da te trovata con l'altro metodo
sicuro?
Prova a pensare così:
$a=a*1$
se moltiplichi qualcosa per 1 quella cosa non cambia, does it?
allora prova a moltiplicare la tua soluzione per 1 o anche per $3/3$ o addirittura per $root3(2)/root3(2)$
remember $4=2^2$
"gio73":
[quote="mate947"]
Facendo così mi ritrovo con la soluzione che ho trovato prima: $z=-1/(root(3)4)+ sqrt3/(root(3)4)i$ che però non è uguale alla soluzione da te trovata con l'altro metodo
sicuro?
Prova a pensare così:
$a=a*1$
se moltiplichi qualcosa per 1 quella cosa non cambia, does it?
allora prova a moltiplicare la tua soluzione per 1 o anche per $3/3$ o addirittura per $root3(2)/root3(2)$
remember $4=2^2$[/quote]
giusto! non ci avevo pensato...comunque se una delle equazioni nel sistema non è soddisfatta, il sistema non ammette soluzione giusto??
potresti dare un'occhiata all'altro quesito degli integrali curvilinei che ho posto? Ti ringrazio!
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