Equazioni numeri complessi
Salve avrei bisogno di un vostro aiuto con la risoluzione di queste equazioni coi numeri complessi..ho provato a svolgerle col metodo della sostituzione ma è un macello.. spero che mi possiate aiutare...
queste sono le equazioni:
1:$(z^{2}+iz+i\frac{\sqrt{3}}{4})\cdot (z-i\bar{z})=0$
2:$(z^{5}-\frac{\sqrt{3}-i}{2i})\cdot ( |z^{4}|+1+i)=0$
3:$(z^{6}-z^{3}-2)\cdot (z^{4}+1+i)=0$
queste sono le equazioni:
1:$(z^{2}+iz+i\frac{\sqrt{3}}{4})\cdot (z-i\bar{z})=0$
2:$(z^{5}-\frac{\sqrt{3}-i}{2i})\cdot ( |z^{4}|+1+i)=0$
3:$(z^{6}-z^{3}-2)\cdot (z^{4}+1+i)=0$
Risposte
Chiedo venia, ma non credo sia molto stupida la mia domanda.
Puoi editare il primo messaggio? Non so se è il mio browser, ma in tutte manca "= qualcosa" (altrimenti che equazione è?) e la seconda non si capisce quello che c'è scritto.
A meno che, invece di equazioni, non si tratti di somme/moltiplicazioni e basta, cioè di calcoli...
Puoi editare il primo messaggio? Non so se è il mio browser, ma in tutte manca "= qualcosa" (altrimenti che equazione è?) e la seconda non si capisce quello che c'è scritto.
A meno che, invece di equazioni, non si tratti di somme/moltiplicazioni e basta, cioè di calcoli...
Ho corretto spero che ora mi possa aiutare
"rsist":
Ho corretto spero che ora mi possa aiutare
Certo che posso/possiamo aiutarti.
PS: come mi disse @melia (e poi gugo e altri), qui ci si dà del tu.
Ti ho scritto il post precedente solo perché non era scontato che fosse "... = 0", no?
Comunque sono tutte equazioni nelle quali bisogna farsi furbi e, soprattutto, utilizzare l'annullamento del prodotto.
1:
$ (z^{2}+iz+i\frac{\sqrt{3}}{4})\cdot (z-i\bar{z})=0 $
Le equazioni diventano due, in quanto il prodotto è nullo se si annulla almeno uno i singoli termini, quindi le soluzioni sono date dall'insieme di tutte quelle che annullano i singoli termini. L'ho detto maluccio, ma è come quando bisognava risolvere alle superiori
$(x^2-1)(x^2+x)=0$.
in cui si considerano i singoli termini.
Tornando al nostro esercizio - parlo un po' troppo quando comincio - dunque le equazioni diventano
$z^{2}+iz+i\frac{\sqrt{3}}{4}=0$
equazione di secondo grado in $z$ che si può tranquillamente risolvere con la ben nota formula risolutiva.
$z-i\bar{z}=0$
secondo me da risolvere ponendo $z=x+iy$ e facendo il sistema che viene fuori per sfruttare l'uguaglianza nei complessi ($w$ e $w_1$ complessi sono uguali se e solo se sono identicamente uguali la loro parte reale e immaginaria).
2:
$ (z^{5}-\frac{\sqrt{3}-i}{2i})\cdot ( |z^{4}|+1+i)=0 $
Anche qui, innanzitutto si divide trattandosi di un prodotto.
$z^{5}-\frac{\sqrt{3}-i}{2i}=0$
basta portare il termine noto all'altro membro (cambiando di segno) e metterlo in forma trigonometrica. A questo punto "dovrebbe" essere semplice estrarre le 5 radici quinte.
$|z^{4}|+1+i=0$
anche qui, una volta appurato che $|z^4|=|z|^4$ si risolve come sopra per trovare $|z|$. Tuttavia potrebbe essere necessario scartare qualche soluzione dato che $|z|\in \RR$ mentre le 4 radici quarte non credo proprio che siano tutte reali.
Se hai capito il meccanismo e/o il mio modo di intendere il problema, per la 3: prova direttamente a darti il suggerimento da solo.
ehi scusa ma mi potresti dire i passaggi dell'equazione |z|^4+1+i=0... quali considerazioni devo fare riguardo al valore assoluto???.non sto riuscendo a capire..
mi viene una vaga idea su quello che ha detto Zero87, così lo faccio anche per esercizio che ripassare i numeri complessi non mi fa mai male.
devo dimostrare che $|z^4|=|z|^4$
allora appurando che $|z|=\rho=\sqrt{a^2+b^2}$ e $z=a+ib= \rho e^(i \theta)$
$|\rho^4 e^(i 4\theta)|=\rho^4$
ora penso usando la proprietà del valore assoluto $|\alpha \cdot x|=|\alpha|\cdot |x|$
si ha $|\rho^4|\cdot |e^(i 4\theta)|=\rho^4$
questo (mi ricordo che l'esercitatore ce l'aveva detto che $|e^(i \alpha)|=1, \forall \alpha$) per la uguaglianza fondamentale in trigonometria
dunque hai $|\rho^4|=\rho^4$ posso togliere il modulo tanto il $\rho$ è sempre positivo e si ha $\rho^4=\rho^4$ uguaglianza verificata.
L'ho voluta fare io per esercizio
devo dimostrare che $|z^4|=|z|^4$
allora appurando che $|z|=\rho=\sqrt{a^2+b^2}$ e $z=a+ib= \rho e^(i \theta)$
$|\rho^4 e^(i 4\theta)|=\rho^4$
ora penso usando la proprietà del valore assoluto $|\alpha \cdot x|=|\alpha|\cdot |x|$
si ha $|\rho^4|\cdot |e^(i 4\theta)|=\rho^4$
questo (mi ricordo che l'esercitatore ce l'aveva detto che $|e^(i \alpha)|=1, \forall \alpha$) per la uguaglianza fondamentale in trigonometria
dunque hai $|\rho^4|=\rho^4$ posso togliere il modulo tanto il $\rho$ è sempre positivo e si ha $\rho^4=\rho^4$ uguaglianza verificata.
L'ho voluta fare io per esercizio
Per favore mi aiutate a trovare le soluzioni dell' equazione ...sto andando in confusione
"rsist":
ehi scusa ma mi potresti dire i passaggi dell'equazione |z|^4+1+i=0... quali considerazioni devo fare riguardo al valore assoluto???.non sto riuscendo a capire..
Mi spiace per il ritardo della risposta, comunque ho solo pensato
$|z|^4=-1-i$
da cui ricavo
$|z|= "le quattro radici quarte di " -1-i$.
Tuttavia sono scettico al fatto che tali radici quarte siano numeri reali: qualora ottenessi numeri non reali dovrei scartarli proprio perché $|z|$ è reale per definizione di modulo.
Questo era il "mio" modo di operare anche se non so se è quello ufficiale o ufficioso.
Concludo dicendo che del post di 21zuclo... non ci ho capito granché, ma ultimamente sono stordito!
"Zero87":[/quote]
[quote="rsist"]
Concludo dicendo che del post di 21zuclo... non ci ho capito granché, ma ultimamente sono stordito!
per cui non mi sai dire se la dimostrazione l'ho fatta giusta? È per sapere..siccome l'ho voluta fare per esercizio
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