Equazioni nel campo complesso

[smorzino]

Ciao a tuttiiiiiiii

mi è capitato di dover svolgere un esercizio ma più andavo avanti con i calcoli più i termini si alzavano di grado e si mischiavano tra di loro...
mi sono spaventato e l' ho lasciato perdere.
infatti credo di aver proprio sbagliato metodo!

l' equazione è
$ (4z - \bar z) (z^3+1) = 0 $

io ho sostituito $z$ con $a+ib$ e $barz$ con $a-ib$
poi ho sviluppato $(a+ib)^3$ ho sommato il sommabile e calcolato modulo e argomento dei due fattori ma con risultati assai scoraggianti...

mio fratello invece ha calcolato direttamente $\rho$ e $\theta$ e ha moltiplicato i moduli e sommato gli argomenti ma anche a lui sono venuti fuori numeri difficili da tirar fuoi radice.

Sapreste dirci la via giusta??
grazie a tutti per la collaborazione =)

[smorzino]

cioè $(a+ib)^3$ l' ho proprio sostituito con $a^3+3 a^2 ib-3a b^2-ib^3$ da cui:
la parte reale del secondo dei due fattori è $a^3-3a b^2 +1$ e la parte immaginaria è $ 3 a^2 ib - ib^3$

qiondi $\rho$= $sqrt[(a^3-3a b^2 +1)^2+(3 a^2 b - b^3)^2]$ e $\theta$ non lo cerco neanche visto che cerco gli zeri. o anche questo ragionamento è sbagliato?

ehm.. qui mi sono perso

[smorzino]

Nessuno ha suggerimenti??
=(

[cozzataddeo]

Per il principio di annullamento del prodotto, una serie di prodotti è uguale a zero quando è zero uno dei fattori. Questo principio vale, tra le altre cose, anche in campo complesso. Di conseguenza le soluzioni dell'equazione

$ (4z - \bar z) (z^3+1) = 0 $

sono date dall'unione delle soluzioni delle due equazioni

$z^3+1=0$ e $4z-\barz=0$

Sulla prima equazione non mi soffermo perché è elementare (attenzione che in campo complesso essa ha 3 soluzioni...).
Per quel che riguarda la seconda si può applicare la sostituzione

$z=x+iy$ e $\barz=x-iy$ con $x,y in RR$

Si ottiene

$4(x+iy)-(x-iy)=0$, $4x+4iy-x+iy=0$, $3x+5iy=0$

Poiché un numero complesso è zero quando sono zero sia la parte reale che il coefficiente dell'immaginario, l'ultima uguaglianza comporta che si abbia

$x=0$ e $y=0$

perciò la soluzione della seconda equazione è $z=0$.
Tale soluzione va unita alle 3 soluzioni della prima equazione...

Mi pare di ricordare che tu e tuo fratello dovevate affrontare lo scritto di analisi qualche settimana fa o mi sbaglio? Come è andato?

Buona matematica!

[smorzino]

Questa era proprio una delle domande del compito!! e nessuno dei due l'ha svolta correttamente fino in fondo!
Le altre dovrebbero essere andate bene , mio fratello ha risposto a tutto il resto , io ad una con più punti ne ho saltati due!! (i risultati li sapremo domani, il 14 c'è l'orale)!!
Per fortuna quel giorno era "il giorno prima dell'esame" e ci stava un po di Rinc@@@mento pre esame,
ecco perchè vi abbiamo fatto domande un pò ridicole!!!

Grazie


P.S:
Effetivamente, visto così, questo complesso era abbastanza semplice ma non era il genere di esercizio a cui ci eravamo
preparati e ci ha mandato in confusione!!!

[cozzataddeo]

"smorzino":Effetivamente, visto così, questo complesso era abbastanza semplice ma non era il genere di esercizio a cui ci eravamo
preparati e ci ha mandato in confusione!!!

Sono convinto che vi abbia mandato in confusione esclusivamente il fatto che non eravate abituati a risolvere esercizi simili perché la difficoltà intrinseca di questo esercizio era pressocché nulla... .
In generale tenete presente che le tecniche per risolvere le equazioni algebriche in campo reale valgono anche in campo complesso per cui non ha tanto senso andare a svolgere un cubo e poi un prodotto quando il polinomio è bello e fattorizzato...

Per curiosità a che corso di laurea siete iscritti?

Incrociamo le falangi per il risultato di domani!

[franced]

"Cozza Taddeo":Per il principio di annullamento del prodotto, una serie di prodotti è uguale a zero quando è zero uno dei fattori. Questo principio vale, tra le altre cose, anche in campo complesso. Di conseguenza le soluzioni dell'equazione

$ (4z - \bar z) (z^3+1) = 0 $

sono date dall'unione delle soluzioni delle due equazioni

$z^3+1=0$ e $4z-\barz=0$

Sulla prima equazione non mi soffermo perché è elementare (attenzione che in campo complesso essa ha 3 soluzioni...).
Per quel che riguarda la seconda si può applicare la sostituzione

$z=x+iy$ e $\barz=x-iy$ con $x,y in RR$

Si ottiene

$4(x+iy)-(x-iy)=0$, $4x+4iy-x+iy=0$, $3x+5iy=0$

Poiché un numero complesso è zero quando sono zero sia la parte reale che il coefficiente dell'immaginario, l'ultima uguaglianza comporta che si abbia

$x=0$ e $y=0$

perciò la soluzione della seconda equazione è $z=0$.

Per l'equazione $4z-bar(z)=0$ non direi di scomodare la $x$ e la $y$..

Basta osservare che $4z = bar(z)$ da cui, se vogliamo: $z = bar(z)/4$;
ora guardiamo i moduli:

$|z| = |bar(z)/4| = |bar(z)|/|4|$

visto che $|z| = |bar(z)|$,

ottengo un assurdo per $z ne 0$.

L'unica possibilità che resta è $z=0$.