Equazioni nel campo complesso

annoiato72
Salve a tutti
non riesco a risolvere queste due equazioni nel campo complesso:
z^2+(coniugato di z)+ |z|^2=2z
z^2+i=|1+z|
qualcuno può aiutarmi?
Grazie
Annoiato72

Risposte
Camillo
Proviamo la prima equazione .
Pongo z = x+iy con x, y numeri reali.
Facendo i conti e ricordando che : z^2 = x^2-y^2+2ixy
e che : z coniugato = x-iy
e infine che |z| = rad2(x^2+y^2) e quindi |z|^2 = x^2+y^2 si ha sostituendo nell'equazione :

x^2-y^2+2ixy +x-iy +x^2+y^2 = 2x+2iy.
semplifico e uguaglio le parti reali :
2 x^2-x = = che è risolta da : x=0 ; x= 1/2.

uguaglio le parti immaginarie e ottengo :
2xy-y = 2y
pongo x =0 e ottengo : y=0
pongo x=1/2 e ottengo : y=0
quindi i due numeri che verificano l'equazione sono z=0+i0 = 0
ed anche : z = 1/2+i0=1/2.

annoiato72
TI ringrazio moltissimo ma ho un problema con la seconda equazione. Ponendo z=x+iy ottengo il sistema:
x^2-y^2=sqrt((x+1)^2+y^2)
2xy+1=0

dalla seconda equazione si ha y=-1/2x con x diverso da 0, che sostituisco nella prima equazione.
Dopo alcuni calcoli, elevando al quadrato primo e secondo membro arrivo all'equazione:
16x^8-16x^6-32x^5-24x^4-4x^2+1=0
che non riesco a risolvere. Ho ricontrollato i calcoli e non riesco a trovare errori.
Grazie

Camillo
L'equazione a cui arrivi mi sembra corretta : ha un solo problema , non è facilmente risolvibile.
Naturalmente Derive la risolve e individua 4 valori reali di x che inseriti nella relazione : y = -1/(2x) danno quattro valori di y ; si identificano così quattro valori di z .
Però immagino che l'esercizio sia d'esame e quindi deve essere risolvibile con metodi manuali più semplici : ho provato anche il metodo geometrico ma senza successo; esprimere i numeri complessi in forma esponenziale ancora peggio, perchè ci sono delle somme .
Camillo
Vediamo se qualcuno ha qualche buona idea

annoiato72
Questa equazione, insieme ad altre, mi è stata proposta da mio cugino, che sta preparando l'esame di analisi 1 per ingegneria a Cassino. Io ho provato a risolverla, con esiti non particolarmente brillanti :(
Credo che sia un esercizio proposto dal professore e non so se per la valutazione lui si accontenti della correttezza del procedimento.
Ti ringrazio molto per l'aiuto e chiederò a mio cugino se il prof ha dato qualche spiegazione su come affrontare questi esercizi
A presto

Camillo
Nessuno ci vuole provare ?
Camillo

Sk_Anonymous
L'equazione e' quella e c'e' poco da fare.
Per me ci si deve accontentare del procedimento
(a meno di improbabili arzigogoli).
karl.

Camillo
Ok , mi metto il cuore in pace.
Camillo

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