Equazioni nel campo complesso

[Lotek]

Ciao. Riguardo ai numeri complessi conosco bene quasi tutte le proprietà, ma ho ugualmente alcune difficoltà nel risolvere le equazioni nel campo complesso. Esiste un metodo risolutivo valido per tutte? Ad esempio, se ho un'equazione complessa di secondo grado, la risolvo con la stessa formula che uso per le equazioni di secondo grado reali, tenendo presente che il discriminante

[math]\Delta < 0[/math]

può essere riscritto come numero reale positivo, moltiplicato per

[math]i^2[/math]

. In caso generale, sono solito sostituire a

[math]z[/math]

la sua forma algebrica

[math]x+iy[/math]

e separando la parte reale dalla parte immaginaria, poste entrambe a zero, ottengo un sistema di due equazioni reali. Risolto il sistema, trovo i coefficienti della parte reale e della parte immaginaria del numero complesso cercato. Non sempre, però, il sistema è fattibile. Conosco, per sentito dire, un terzo modo per risolvere le equazioni complesse, cioè quello di utilizzare la forma trigonometrica

[math]z = \rho e^{i\theta}[/math]

, ma non mi è molto chiaro. Quando mi trovo di fronte un'equazione complessa, come devo comportarmi? Esiste un metodo relativamente semplice, che vale per ogni equazione?

Faccio qualche esempio di equazione da risolvere:

1)

[math]|z^2+1|=z \cdot z^2[/math]

In questo caso, non capisco perché non sia stato scritto

[math]z^3[/math]

al posto di

[math]z \cdot z^2[/math]

.

Se riscrivessi l'equazione con la forma algebrica non ci caverei un ragno dal buco. Invece la forma trigonometrica non la so usare per risolvere le equazioni. Mi chiedo perché nei libri di matematica siano spiegati i numeri complessi ma la risoluzione delle equazioni complesse sia data per scontata...

Aggiunto 23 ore 20 minuti più tardi:

Grazie per la risposta. L'equazione è scritta correttamente, a meno che non abbiano fatto un errore di stampa nel libro. Sì, in effetti ho detto un'emerita idiozia riguardo al modulo. Non so neanche perché l'ho detta. Forse perché pensavo ai numeri complessi, perdendo di vista le altre cose. Comunque sia, sostituendo con la forma algebrica dovrebbe risultare:

[math]|(a+ib)^2+1|=(a+ib)^3[/math]

[math]|(a+ib)^2+1|=a^3+3ia^2b-3ab^2-ib^3[/math]

Se non ho fatto altri erroracci, anche in questo modo, apparentemente non posso andar avanti facilmente...

Aggiunto 1 ore 11 minuti più tardi:

Risoluzione geniale! Non ci sarei mai arrivato. Grazie ancora.

[ciampax]

Sei sicuro che l'equazione sia quella? Magari è scritta in uno di questi due modi

[math]|z^2+1|=\bar{z}\cdot z^2,\qquad |z^2+1|=z\cdot\bar{z}^2[/math]

dove il segno sopra il numero complesso indica il suo coniugato. Per quanto riguarda l'1 dentro il modulo, stai dicendo la più grossa fesseria della storia: 1) perché non dovrebbe avere senso? In un modulo ci puoi mettere anche la pasta con i broccoli! 2) la cosa che fai è sbagliata: vale la seguente formula per il modulo di una somma di due numeri complessi

[math]|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+2\math{Re}(z\bar{w})[/math]

Mi pare che ti manchino ancora un bel po' di conoscenze per procedere con in numeri complessi.

Aggiunto 4 ore 11 minuti più tardi:

Effettivamente quella equazione è un tantinello ostica se provi a risolverla per via algebrica. Io suggerirei la forma esponenziale usando un trucco: osserva che il modulo, per definizione, è una quantità reale e maggiore o uguale a zero: questo vul dire che

[math]z^3=|z^2+1|\geq 0[/math]

per cui

[math]z^3\in\mathbb{R}_+\cup\{0\}=\{x\in\mathbb{R}\ :\ x\geq 0\}[/math]

Ora se scrivi

[math]z=\rho e^{i\theta}[/math]

allora

[math]z^3=\rho^3 e^{3i\theta}\geq 0[/math]

e dal momento che

[math]\rho\geq 0[/math]

deve essere

[math]e^{3i\theta}\geq 0[/math]

. Questo implica che

[math]e^{3i\theta}=\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)\geq 0\ \Rightarrow\ \sin(3\theta)=0,\ \cos(3\theta)\geq 0[/math]

e quindi

[math]3\theta=k\pi\ \Rightarrow\ \theta=\frac{k\pi}{3},\ k=0,\ldots, 5[/math]

per annullare il seno. Poiché si ha pure

[math]\cos\left(3\cdot\frac{k\pi}{3}\right)=\cos(k\pi)=(-1)^k[/math]

affinché si abbiano valori positivi bisogna scegliere

[math]k=0,2,4[/math]

.

Pertanto si avranno i numeri complessi nella forma

[math]z_h=\rho e^{i\theta_h},\qquad \theta_h=\frac{2h\pi}{3},\ h=0,1,2.[/math]

Ora, osserva che

[math]z_h^3=\rho^3 e^{2hi\pi}=\rho^3[/math]

sempre, per cui puoi scrivere

[math]|\rho^2 e^{2i\theta_h}+1|=\rho^3\ \Rightarrow\ |\rho^2 e^{2i\theta_h}+1|^2=\rho^6[/math]

Calcolando il modulo del primo numero complesso abbiamo

[math]|\rho^2 e^{2i\theta_h}|^2+|1|^2+2\math{Re}(\rho^{2}e^{2i\theta_h})=\rho^4+1+2\rho^2\cos(2\theta_h)[/math]

per cui devi risolvere la disequazione

[math]\rho^6-\rho^4-2\rho^2\cos(2\theta_h)-1=0[/math]

Le equazioni precedenti si riscrivono come

[math]\rho^6-\rho^4-2\rho^2-1=0,\qquad h=0\\ \rho^6-\rho^4+\rho^2-1=0,\qquad h=1,2[/math]

La seconda equazione si riscrive come

[math]\rho^4(\rho^2-1)+(\rho^2-1)=0[/math]

e quindi

[math](\rho^2-1)(\rho^4+1)=0[/math]

la cui unica soluzione è

[math]\rho=1[/math]

. Per la prima si ha invece,

[math]\rho^6-(\rho^2+1)^2=0\ \Rightarrow\ (\rho^3+\rho^2+1)(\rho^3-\rho^2-1)=0[/math]

La prima equazione non ha soluzioni perchè è una somma di quantità positive. Per la seconda è facile verificare che essa ammette una sola soluzione nell'intervallo

[math](1,2)[/math]

, che chiamiamo

[math]\alpha[/math]

. Pertanto le soluzioni dell'equazione complessa sono

[math]z=\alpha,\ z=e^{2i\pi/3},\ z=e^{4i\pi/3}[/math]