Equazioni modulo numero complesso alla sesta
Ciao a tutti, non riesco a capire come comportarmi davanti ad un'equazione con un modulo di un numero complesso alla sesta o in generale elevato ad un numero alto.
Se per esempio ho |z^6|z^4+1024=0 come posso muovermi? posso porre w=z^2 però poi avrei un modulo di un cubo (che non è difficile, però per numeri grandi potrebbe essere difficile, per questo vorrei trovare un metodo piu veloce).
Ho pensato di portare in esponenziale avendo cosi: r^10 e^(4it) + 1024=0
A questo punto come procedo?
Ho r^10=1024 ed e^(4it) = ??
Sono bloccato. Grazie a tutti per l'aiuto
Se per esempio ho |z^6|z^4+1024=0 come posso muovermi? posso porre w=z^2 però poi avrei un modulo di un cubo (che non è difficile, però per numeri grandi potrebbe essere difficile, per questo vorrei trovare un metodo piu veloce).
Ho pensato di portare in esponenziale avendo cosi: r^10 e^(4it) + 1024=0
A questo punto come procedo?
Ho r^10=1024 ed e^(4it) = ??
Sono bloccato. Grazie a tutti per l'aiuto
Risposte
Ciao. Se ho capito bene l'equazione sarebbe: $|z|^6*z^4+1024=0" "$.
L'idea di passare in forma esponenziale è corretta, ma devi scrivere anche il termine noto in tale formalismo:
fatta la qual cosa uguagli i moduli dei due membri (ricavando $rho$) e i due argomenti a meno di $2kpi$, ricavando tutti i possibili valori di $vartheta$ (quelli ammessi, ovviamente).
L'idea di passare in forma esponenziale è corretta, ma devi scrivere anche il termine noto in tale formalismo:
$rho^10*e^(4ivartheta)=-1024" "to" "rho^10*e^(4ivartheta)=1024*e^(ipi)" "$;
fatta la qual cosa uguagli i moduli dei due membri (ricavando $rho$) e i due argomenti a meno di $2kpi$, ricavando tutti i possibili valori di $vartheta$ (quelli ammessi, ovviamente).
"Palliit":
Ciao. Se ho capito bene l'equazione sarebbe: $ |z|^6*z^4+1024=0" " $.
L'idea di passare in forma esponenziale è corretta, ma devi scrivere anche il termine noto in tale formalismo:
$ rho^10*e^(4ivartheta)=-1024" "to" "rho^10*e^(4ivartheta)=1024*e^(ipi)" " $;
fatta la qual cosa uguagli i moduli dei due membri (ricavando $ rho $) e i due argomenti a meno di $ 2kpi $, ricavando tutti i possibili valori di $ vartheta $ (quelli ammessi, ovviamente).
Intanto ti ringrazio e poi volevo chiederti se banalmente $|z^6| = |z|^6$ immagino di si in quanto $|rho^6 * e^(6ivartheta)| = rho^6$
Quindi ho:
$ rho^10=1024" "4vartheta=pi" " $
A questo punto uso la formula della radice di un numero complesso per l'esponenziale? Pero l'argomento va diviso per 10? (che è l'esponente del modulo) o è diviso 4 che è l'esponente del numero complesso?
$ z = (1024)^(1/10)e^(i1/10(pi/4 +2kpi))" $;
Con k 0,9??
"scartus":
Quindi ho:$" "... 4vartheta=pi" " $
No, hai:$" "4vartheta=pi+2kpi" "$, con$" "k in ZZ" "$in modo tale che$" "vartheta in [0,2pi[" "$.
Mentre qua:
"scartus":non ho proprio capito cosa tu intenda.
A questo punto uso la formula della radice di un numero complesso per l'esponenziale? Pero l'argomento va diviso per 10? (che è l'esponente del modulo) o è diviso 4 che è l'esponente del numero complesso?
$ z = (1024)^(1/10)e^(i1/10(pi/4 +2kpi))" $;
Con k 0,9??
"Palliit":
[quote="scartus"]Quindi ho:$" "... 4vartheta=pi" " $
No, hai:$" "4vartheta=pi+2kpi" "$, con$" "k in ZZ" "$in modo tale che$" "vartheta in [0,2pi[" "$.
Mentre qua:
"scartus":non ho proprio capito cosa tu intenda.[/quote]
A questo punto uso la formula della radice di un numero complesso per l'esponenziale? Pero l'argomento va diviso per 10? (che è l'esponente del modulo) o è diviso 4 che è l'esponente del numero complesso?
$ z = (1024)^(1/10)e^(i1/10(pi/4 +2kpi))" $;
Con k 0,9??
Hai ragione non mi sono spiegato bene. Una volta eguagliato il modulo e l'argomento ho trovato z?
$ z = 1024^(1/10) * e^(i(pi+2kpi)/4) $
Con k che va da 0 a 3, la soluzione riportata in algebrica conferma la soluzione di wolfram.
Se invece avessi avuto una cosa tipo:
$|z^6|/z^4 +16 = 0$
Sarebbe stato corretto portando in forma esponenziale -->
$rho^6/(rho^4 * e^(4ivartheta)) = 16e^(ipi)$
Quindi
$ rho^2 * e^(i0) = 16e^(i(pi+4vartheta))$
E in definitiva avere $ rho = (16)^(1/2) $ e $ vartheta = -pi/4 + 2kpi $
Quindi $ z = 4 * e^(-pi/4+2kpi) $ con k che va da 0 a 3
Grazie per l'aiuto
"scartus":
E in definitiva avere $ rho = (16)^(1/2) $ e $ vartheta = -pi/4 + 2kpi $
No:$" "4vartheta+pi=2kpi" "to" "vartheta=-pi/4+kpi/2" "$.
Tra l'altro, $1024^(1/10)=2" "$e$" "16^(1/2)=4" "$.
"Palliit":
[quote="scartus"]E in definitiva avere $ rho = (16)^(1/2) $ e $ vartheta = -pi/4 + 2kpi $
No:$" "4vartheta+pi=2kpi" "to" "vartheta=-pi/4+kpi/2" "$.
Tra l'altro, $1024^(1/10)=2" "$e$" "16^(1/2)=4" "$.[/quote]
Ok quindi la prima equazione è: $ z = 2 * e^(i(pi+2kpi)/4) $
Mentre la seconda è: $ z = 4 * e^(-pi/4+1/2kpi) $
Ok ho capito dove ho sbagliato.
Ne approfitto e ti pongo un ultimo quesito sempre simile:
$ |z^4|/(8-|z^2|)=8 $
Trovo $rho = sqrt{4sqrt{5}-4} $
E $ 4vartheta=2kpi $ quindi $ vartheta=1/2kpi $
Quindi $z=sqrt{4sqrt{5}-4} *e^(i1/2kpi)$ ??
A questo punto però k varia da 0 a 3? 4 soluzioni?
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