Equazioni in forma di divergenza

[Gaia881]

Ciao a tutti,
mi sono imbattuta in questo esercizio riguardo le PDE.

Sia \(\displaystyle \Omega \) un dominio limitato, \(\displaystyle \partial\Omega \in C^1 \). Consideriamo il seguente operatore in forma di divergenza
\(\displaystyle Lu = div[ADu]= \sum_{i,j=1}^n D_j(a_{ij}D_iu) \)
dove i coefficienti \(\displaystyle a_{ij} \in C^1(\bar{\Omega}) \) sono a valori reali e soddisfano la condizione: \(\displaystyle a_{ij}=a_{ji} \forall i,j=1... n \) ,i.e. la matrice A è simmetrica.

a) per \(\displaystyle u,v \in C^2(\bar{\Omega}) \) dimostra le seguenti identità di Green:

(i) \(\displaystyle \int_{\Omega} vLudx = - \int_{\Omega} \langle Dv,ADu \rangle dx + \int_{\partial\Omega} uD_{\nu} u dS \)

(ii) \(\displaystyle \int_{\Omega} [vLu - uLv] dx = \int_{\partial\Omega} [vD_{\nu} u - uD_{\nu} v] dS \)

dove $\nu$ è il campo vettoriale normale esterno a \(\displaystyle \partial\Omega \) e \(\displaystyle D_{\nu} u:= \langle ADu, \nu \rangle \)

b) Se, inoltre, A è definita non negativa, i.e. \(\displaystyle \langle A(x)\xi\xi \rangle \geq 0 \) per ogni \(\displaystyle x \in \Omega\) \(\displaystyle \xi \in \mathbf{R^n} \) , allora la radice quadrata \(\displaystyle A^{1/2} \) di $A$ è una matrice simmetrica, ben definita a valori continui in \(\displaystyle \Omega \).
Trova e giustifica una condizione aggiuntiva su $A$ tale che, le soluzioni $C^2(\bar{\Omega})$ dei seguenti problemi di Dirichlet e di Neumann :

\begin{equation}
\begin{cases}
Lu=f \hspace{1cm} \text{in} \Omega \\u=g \hspace{1cm} \text{su} \partial{\Omega}
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
Lu=f \hspace{1cm} \text{in} \Omega \\ D_{\nu} u = h \hspace{1cm} \text{su} \partial{\Omega}
\end{cases}
\end{equation}

sono, rispettivamente, uniche e uniche a meno di una costante additiva.

Ora, il punto a) l'ho risolto. Credo che basti utilizzare la dimostrazione delle identità di Green (quindi utilizzando il Teorema della Divergenza).
Mentre ho grossi problemi a risolvere il punto b), non so proprio da dove iniziare o come impostare il problema.
Deduco che servano le identità trovate nel punto a); ad esempio , so che sostituendo il valore $v=1$ in una delle due identità trovo la condizione di compatibilità dei dati di Neumann, cioè : $\int_{\Omega} f = \int_{\partial\Omega} h$ , ma mi serve a qualcosa?

Grazie a chi potrà aiutarmi.

[Gaia881]

Nessuno che riesce a darmi una dritta?