Equazioni in campo complesso [era: Mi controllate...]
ciao!!!
vi posto per intero l'esercizio seguente...non so se mi è uscito (credo di si, con buona approsimazione, ma vorrei un vostro commento)
mi date anche qualche consiglio utile per affrontare piu semplicemente questa tipologia di esercizi??
grazie...spero di non aver fatto un pasticcio...
dunque...
ho posto $(z-3)/i=t$ e dunque ho sviluppato l'equazione complessa $(t)^3=-27i$
$w_k= root(n)(|t|)(cos((\theta+2k(pi))/n) + isin((\theta+2k(pi))/n))$ con $k=0.....n-1$
$|t|= sqrt(x^2+y^2) = sqrt((-27)^2) = 27$ quindi $root(n)(|t|) = root(3)(27)=3$
$\theta$ è dato da:
http://img36.imageshack.us/img36/7182/angolov.jpg
quindi l'angolo principale sarà $\theta=3/2pi$
per cui :
$w_k= 3(cos((3/2pi+2k(pi))/3) + isin((3/2pi+2k(pi))/3))$
$w_0= 3(cos(pi/2) + isin(pi/2)= i3$
$w_1= 3(cos(7/6pi) + isin(7/6pi)= -2,6 - i(1,495)$
$w_2= 3(cos(11/6pi) + isin(11/6pi)= 2,593 - i(1,507)$
dato che $w_k$ sono le soluzioni di $t$, dove $(z-3)/i=t$ -->
$(z-3)/i=i3$ da cui z=6
$(z-3)/i= -2,6-i(1,495)$ da cui $z= (-2,6-i(1,495))i+3)$ da cui [$z=4,495 - i2,6$]
$(z-3)/i= +2,593-i(1,507)$ da cui $z= (2,593-i(1,507))i+3)$ da cui [$z=4,507 + i2,593$]
con approsimazione possiamo affermare che ha due soluzioni (*;*) complesse coniugate. E quindi RISPOSTA C (che è tra l'altro quella del libro)
ciao e grazie
[mod="dissonance"]Titolo modificato - era "Mi controllate questi esercizi per favore?"[/mod]
vi posto per intero l'esercizio seguente...non so se mi è uscito (credo di si, con buona approsimazione, ma vorrei un vostro commento)
mi date anche qualche consiglio utile per affrontare piu semplicemente questa tipologia di esercizi??
grazie...spero di non aver fatto un pasticcio...
L'equazione $((z-3)/i)^3=-27i$
A) ha tre soluzioni con parte reale strettamente positiva
B) ha due soluzioni opposte
C) ha due soluzioni complesse coniugate
D) altro
dunque...
ho posto $(z-3)/i=t$ e dunque ho sviluppato l'equazione complessa $(t)^3=-27i$
$w_k= root(n)(|t|)(cos((\theta+2k(pi))/n) + isin((\theta+2k(pi))/n))$ con $k=0.....n-1$
$|t|= sqrt(x^2+y^2) = sqrt((-27)^2) = 27$ quindi $root(n)(|t|) = root(3)(27)=3$
$\theta$ è dato da:
http://img36.imageshack.us/img36/7182/angolov.jpg
quindi l'angolo principale sarà $\theta=3/2pi$
per cui :
$w_k= 3(cos((3/2pi+2k(pi))/3) + isin((3/2pi+2k(pi))/3))$
$w_0= 3(cos(pi/2) + isin(pi/2)= i3$
$w_1= 3(cos(7/6pi) + isin(7/6pi)= -2,6 - i(1,495)$
$w_2= 3(cos(11/6pi) + isin(11/6pi)= 2,593 - i(1,507)$
dato che $w_k$ sono le soluzioni di $t$, dove $(z-3)/i=t$ -->
$(z-3)/i=i3$ da cui z=6
$(z-3)/i= -2,6-i(1,495)$ da cui $z= (-2,6-i(1,495))i+3)$ da cui [$z=4,495 - i2,6$]
$(z-3)/i= +2,593-i(1,507)$ da cui $z= (2,593-i(1,507))i+3)$ da cui [$z=4,507 + i2,593$]
con approsimazione possiamo affermare che ha due soluzioni (*;*) complesse coniugate. E quindi RISPOSTA C (che è tra l'altro quella del libro)
ciao e grazie
[mod="dissonance"]Titolo modificato - era "Mi controllate questi esercizi per favore?"[/mod]
Risposte
C'è una strada più semplice...
Hai $1/i^3=1/(-i)=i$, quindi:
$((z-3)/i)^3=-27i \quad \Leftrightarrow \quad (z-3)^3=-27 \quad$;
le radici cubiche di $-27$ si ottengono moltiplicando per $3$ le tre radici terze di $-1$; dette $epsilon_0,epsilon_1,epsilon_2$ tali radici, sai che una di esse è reale (e coincide con $-1$ of course) mentre le altre due sono complesse coniugate; ne viene che le soluzioni della tua equazione sono:
$z_i=3+3epsilon_i=3*(1+epsilon_i) \quad$ per $i=0,1,2$.
Visto che sommando un numero reale ad un numero complesso non si altera la relazione di coniugio, una delle $z_i$ è reale (e nulla, ovviamente) mentre le altre due sono complesse coniugate.
Hai $1/i^3=1/(-i)=i$, quindi:
$((z-3)/i)^3=-27i \quad \Leftrightarrow \quad (z-3)^3=-27 \quad$;
le radici cubiche di $-27$ si ottengono moltiplicando per $3$ le tre radici terze di $-1$; dette $epsilon_0,epsilon_1,epsilon_2$ tali radici, sai che una di esse è reale (e coincide con $-1$ of course) mentre le altre due sono complesse coniugate; ne viene che le soluzioni della tua equazione sono:
$z_i=3+3epsilon_i=3*(1+epsilon_i) \quad$ per $i=0,1,2$.
Visto che sommando un numero reale ad un numero complesso non si altera la relazione di coniugio, una delle $z_i$ è reale (e nulla, ovviamente) mentre le altre due sono complesse coniugate.
a volte mi chiedo se i corsi di analisi....
spero che la frase non sia rivolta a me...
io ci provo...il fatto è che non tutti sono dei genii come te...magari tu non puoi capirlo perchè spesso le cose ti sembrano scontate...ma credimi..per noi poveri mortali è cosi, le difficoltà ci sono...
ciao
Non è rivolta a te: l'ho scritta qualche giorno fa da qualche parte e poi l'ho messa in firma.
Poi, per gli esercizi, non si tratta di essere geni o meno; si tratta solo di, beh... esercizio.
Poi, per gli esercizi, non si tratta di essere geni o meno; si tratta solo di, beh... esercizio.
OK 
senti prendendo spunto dal modo in cui hai risolto l'esercizio mi è sorto un dubbio per un altro esercizio simile:
se ho $((z-i)/2)^3= 27i$ dove $z in CC$, posso trasformarlo in $(z-i)^3/2^3= 27i$ dal quale ottengo $(z-i)^3=216i$???
grazie..
senti prendendo spunto dal modo in cui hai risolto l'esercizio mi è sorto un dubbio per un altro esercizio simile:
se ho $((z-i)/2)^3= 27i$ dove $z in CC$, posso trasformarlo in $(z-i)^3/2^3= 27i$ dal quale ottengo $(z-i)^3=216i$???
grazie..
Come prima hai $(z-3)^3=6^3i$, cosicché le soluzioni sono del tipo $z_k=3+6*epsilon_k$ per $k=0,1,2$, dove però $epsilon_0,epsilon_1,epsilon_2$ sono questa volta le tre radici terze di $i$ (che devi calcolare esplicitamente).
lo prendo per un $si$ piu scientifico!! xD
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
