Equazioni in C
Ho qualche dubbio sulla procedura che ho usato per risolvere questi esercizi.
Il primo: \( \frac{|2iz+1|}{|1-2iz|}=1 \)
Moltiplico num e den per |1+2iz|.
\( \frac{|4z^2-1|}{|1-4z^2|}=1 \)
\( {|4z^2-1|}={|1-4z^2|} \)
Elevo al quadrato
\( 16z^4+1-8z^2=1+16z^4-8z^2 \)
Ma questa è un'identità
Non so se ho sbagliato in qualche passaggio, ma mi sembra strano, potete indicarmi quale proprietà non ho rispettato?
Il secondo:
\( (|z+3i|-|\bar{z}+1|)(|z-i|-|z+1|) =0 \)
Qui considero legge di annullamento del prodotto, elevo al quadrato i membri in entrambe le equazioni e procedo poicon il sistema. Il metodo è quello corretto? O ci sononcose che non sto considerando?
Il primo: \( \frac{|2iz+1|}{|1-2iz|}=1 \)
Moltiplico num e den per |1+2iz|.
\( \frac{|4z^2-1|}{|1-4z^2|}=1 \)
\( {|4z^2-1|}={|1-4z^2|} \)
Elevo al quadrato
\( 16z^4+1-8z^2=1+16z^4-8z^2 \)
Ma questa è un'identità
Non so se ho sbagliato in qualche passaggio, ma mi sembra strano, potete indicarmi quale proprietà non ho rispettato?
Il secondo:
\( (|z+3i|-|\bar{z}+1|)(|z-i|-|z+1|) =0 \)
Qui considero legge di annullamento del prodotto, elevo al quadrato i membri in entrambe le equazioni e procedo poicon il sistema. Il metodo è quello corretto? O ci sononcose che non sto considerando?
Risposte
Se poni $w = 1+2iz$, nella prima devi risolvere \(\left|\frac{w}{2-w}\right|=1\), che è un po' più semplice. Chiaramente ci sarà un'insieme di soluzioni, perché ci sono diversi $w$ per cui \(\frac{w}{2-w}=e^{i\theta}\).
Non vorrei sbagliarmi, ma $absw/(abs(2-w))=1$ è un famoso luogo geometrico
Anzitutto grazie per la rispista.
Ho provato come suggerivi.
\( |w|=|2-w| \)
\( w^2=4+w^2-4w \)
\( 2iz+1=1 \)
\( \Longleftrightarrow z=0 \)
Credi che così sia corretto?? Perché il dubbio mi è rimasto: non ho capito cosa ho sbagliato sopra e perché
Ho provato come suggerivi.
\( |w|=|2-w| \)
\( w^2=4+w^2-4w \)
\( 2iz+1=1 \)
\( \Longleftrightarrow z=0 \)
Credi che così sia corretto?? Perché il dubbio mi è rimasto: non ho capito cosa ho sbagliato sopra e perché
non ho capito cosa ho sbagliato
Tipo... tutto?
Hai sbagliato nel considerare che $|w|^2=w^2$ in quanto il modulo di un numero complesso è un numero reale. Il quadrato di un numero complesso è un numero complesso
Di fatto $|w|=|.(a,b)|=sqrt(a^2+b^2) => |w|^2=a^2+b^2$
Mentre $w^2=(a,b)*(a,b)=(a^2-b^2,2ab)=:(a^2-b^2)+2abi$
Di fatto $|w|=|.(a,b)|=sqrt(a^2+b^2) => |w|^2=a^2+b^2$
Mentre $w^2=(a,b)*(a,b)=(a^2-b^2,2ab)=:(a^2-b^2)+2abi$
Va bene, ricomincio daccapo.
Ponendo w=2iz +1, w è anch'esso un numero complesso? Sì perché sarà formato da una parte immaginaria e da una reale.
Ora, poiché so che vale
\( |\frac{x}{y}|= \frac{|x|}{|y|} \\ \forall x,y\in C \)
Posso moltiplicare ambo i membri per il denominatore.
Posso elevare al quadrato? Sono entrambi non negativi.
Quindi qualcuno con un po' più di pazienza nei confronti della mia ignoranza può mostrarmi dove e perché sbaglio?
Ponendo w=2iz +1, w è anch'esso un numero complesso? Sì perché sarà formato da una parte immaginaria e da una reale.
Ora, poiché so che vale
\( |\frac{x}{y}|= \frac{|x|}{|y|} \\ \forall x,y\in C \)
Posso moltiplicare ambo i membri per il denominatore.
Posso elevare al quadrato? Sono entrambi non negativi.
Quindi qualcuno con un po' più di pazienza nei confronti della mia ignoranza può mostrarmi dove e perché sbaglio?
[ot]Risoluzione geometrica: posto $w=2iz$, il problema diventa:
$abs(w+1)/(abs(w-1))=1$, ossia preso il punto w nel piano complesso, il rapporto tra il segmento (w,1) e il segmento (w,-1) deve essere pari a 1, la soluzione del problema è quindi banale, il luogo che soddisfa l'equazione è l'asse del segmento (-1,1) ossia l'asse $x=0$, cioè l'asse complesso.
Se invece il probloema fosse stato $abs(w+1)/(abs(w-1))=k$ con $k!=1$ qualcuno sa di che luogo si tratta? senza svolgere esplicitamente i calcoli (è il famoso luogo geometrico di cui parlavo prima)[/ot]
$abs(w+1)/(abs(w-1))=1$, ossia preso il punto w nel piano complesso, il rapporto tra il segmento (w,1) e il segmento (w,-1) deve essere pari a 1, la soluzione del problema è quindi banale, il luogo che soddisfa l'equazione è l'asse del segmento (-1,1) ossia l'asse $x=0$, cioè l'asse complesso.
Se invece il probloema fosse stato $abs(w+1)/(abs(w-1))=k$ con $k!=1$ qualcuno sa di che luogo si tratta? senza svolgere esplicitamente i calcoli (è il famoso luogo geometrico di cui parlavo prima)[/ot]
Grazie mille, stavo ancora scrivendo quando hai risposto. A breve riposto lo svolgimento. Devo considerare il modulo di w secondo la sua definizione e POI elevare al quadrato...
"Vulplasir":
Non vorrei sbagliarmi, ma $absw/(abs(2-w))=1$ è un famoso luogo geometrico
Quando sei arrivato qui, la cosa più ovvia è risolvere in $(x,y)$ l'equazione
\[
\frac{x^2+y^2}{(2-x)^2 + y^2} = 1
\] la quale, moltiplicando per $(2-x)^2 + y^2$ da ambo le parti, diventa...
Questo ti dice per quali $x,y$ $w = x+iy$ è soluzione; per tornare a $z$, usa la sostituzione che hai fatto: $w=1+2iz$, o meglio $z = \frac{w-1}{2i}$.
Quando sei arrivato qui, la cosa più ovvia è risolvere in (x,y) l'equazione
x2+y2(2−x)2+y2=1
la quale, moltiplicando per (2−x)2+y2 da ambo le parti, diventa...
Si certo, quello che volevo dire però è che, senza calcoli, se uno si trova di fronte a una equazione del tipo:
$abs(z-a)/(abs(z-b))=k$, ha un rapporto tra due segmenti che deve essere costante, questa è la definizione della circonferenza di Apollonio, che degenera in una retta quando k=1.
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