Equazioni e disequazioni parametriche
Nel compito d'esame di Matematica Generale nella mia facoltà, nella seconda parte, tra gli altri, c'è questo esercizio:
Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
$e^(x/2) = k(x^2+3)$
al variare del parametro k appartenente a R
Che tipo di equazione è? Parametrica? E come si risolve?
Ma fanno parte di Analisi? O_O
Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
$e^(x/2) = k(x^2+3)$
al variare del parametro k appartenente a R
Che tipo di equazione è? Parametrica? E come si risolve?
Ma fanno parte di Analisi? O_O
Risposte
Ciao Baldur, provo a fare l'esercizio con te ma non ho la soluzione e potrei anche sbagliare: insomma ragioniamo insieme e speriamo che qualcuno intervenga.
Torniamo a noi
$e^(x/2)=k(x^2+3)$
Cercare le soluzioni di questa equazione è come cercare i punti dove si incontrano le due curve $e^(x/2)$ e $k(x^2+3)$
$e^(x/2)$ è una curva che possiamo disegnarci tranquillamente e non varia al variare di $k$ e si trova nel I e II quadrante
ora veniamo a $k(x^2+3)$: si tratta di una parabola con l'asse coincidente con l'asse $y$, ma concavità e intersezione con l'asse y variano al variare di $k$, in particolare se $k>0$ la concavità è rivolta verso l'alto e la parabola si trova nel I e II quadrante, se $k<0$ la concavità è rivolta verso il basso e la parabola si trova nel III e IV quadrante, se $k=0$ non abbiamo più la parabola.
Ora se $k<0$ siamo tranquilli che queste due curve non si incontrano e quindi non ci sono soluzioni all'equazione.
Se $k>0$ le due curve possono incontrarsi in un punto, ad esempio se $k=1/3$ le due curve si incontrano in $V(0;1)$, in questo caso $x=0$ è soluzione della nostra equazione. Se $k<1/3$, ma sempre positivo, l'intersezione con la curva esponenziale la andrò a cercare nel II quadrante (quindi $x<0$), mentre se $k>1/3$ l'intersezione la crcherò nel I quadrante (quindi $x>0$)
Osserviamo però che man mano che $k$ aumenta il vertice $(0; 3k)$ della nostra parabola sale verso l'alto e l'apertura della parabola si stringe sempre di più.
Torniamo a noi
$e^(x/2)=k(x^2+3)$
Cercare le soluzioni di questa equazione è come cercare i punti dove si incontrano le due curve $e^(x/2)$ e $k(x^2+3)$
$e^(x/2)$ è una curva che possiamo disegnarci tranquillamente e non varia al variare di $k$ e si trova nel I e II quadrante
ora veniamo a $k(x^2+3)$: si tratta di una parabola con l'asse coincidente con l'asse $y$, ma concavità e intersezione con l'asse y variano al variare di $k$, in particolare se $k>0$ la concavità è rivolta verso l'alto e la parabola si trova nel I e II quadrante, se $k<0$ la concavità è rivolta verso il basso e la parabola si trova nel III e IV quadrante, se $k=0$ non abbiamo più la parabola.
Ora se $k<0$ siamo tranquilli che queste due curve non si incontrano e quindi non ci sono soluzioni all'equazione.
Se $k>0$ le due curve possono incontrarsi in un punto, ad esempio se $k=1/3$ le due curve si incontrano in $V(0;1)$, in questo caso $x=0$ è soluzione della nostra equazione. Se $k<1/3$, ma sempre positivo, l'intersezione con la curva esponenziale la andrò a cercare nel II quadrante (quindi $x<0$), mentre se $k>1/3$ l'intersezione la crcherò nel I quadrante (quindi $x>0$)
Osserviamo però che man mano che $k$ aumenta il vertice $(0; 3k)$ della nostra parabola sale verso l'alto e l'apertura della parabola si stringe sempre di più.
La soluzione proposta da gio73 è corretta e abbastanza facile. Vorrei solo proporre un'altra strada che in questo caso è più lunga ma che magari può tornarti utile in esercizi simili.
Dato che $x^2+3 > 0$ puoi dividere entrambi i lati dell'equazione ottenendo
$ \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^2+3} = k$.
Ora basta fare lo studio della funzione $ \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^2+3} = k$ e vedere dove stanno le intersezioni con le rette orizzontali $y=k$.
Spesso bastano anche poche informazioni relative allo studio di funzione; in qualche caso potrebbe anche bastare il segno della derivata.
Dato che $x^2+3 > 0$ puoi dividere entrambi i lati dell'equazione ottenendo
$ \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^2+3} = k$.
Ora basta fare lo studio della funzione $ \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^2+3} = k$ e vedere dove stanno le intersezioni con le rette orizzontali $y=k$.
Spesso bastano anche poche informazioni relative allo studio di funzione; in qualche caso potrebbe anche bastare il segno della derivata.
Mi è chiaro teoricamente cosa avete fatto, ma non mi è chiaro ancora praticamente come vanno risolte questo tipo di equazioni :/ va fatto uno studio di funzione?
La ricetta non c'è. Fai in modo che ti sia DAVVERO chiaro l'impianto teorico che sta dietro a queste nozioni, come l'intersezione con rette, segno, grafico, parabola, funzione, parametro.
Se aspetti il " QUESTE SI FANNO COSI' " , sappi che non solo non te lo dirà nessuno, ma, soprattutto, non c'è!
Anzi, didatticamente, ti dirò, sono esercizi che vengono proposti proprio per questo motivo.
Se aspetti il " QUESTE SI FANNO COSI' " , sappi che non solo non te lo dirà nessuno, ma, soprattutto, non c'è!
Anzi, didatticamente, ti dirò, sono esercizi che vengono proposti proprio per questo motivo.
Eh allora credo che per gennaio dovrò lasciarle perdere. Non credo di fare in tempo. Vorrà dire che mi concentrerò di piu su limiti, studio di funzioni, sistemi lineari
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