Equazioni e disequazioni numeri complessi
Salve a tutti! E' la prima volta che scrivo su questo forum, spero di non sbagliare...
Allora, mi trovo in difficoltà con alcuni esercizi sui numeri complessi, anche perchè il libro non ha nè la soluzione, nè il risultato.
1) $ (z|z|)^2=iz $ dove in iz, z è coniugato (non sapevo come mettere il simbolo)
2) $ z^4=|z|^4 $
3) $ |z-1|<=|z+1| $
Ho provato a fare qualcosa, ma senza successo...
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Allora, mi trovo in difficoltà con alcuni esercizi sui numeri complessi, anche perchè il libro non ha nè la soluzione, nè il risultato.
1) $ (z|z|)^2=iz $ dove in iz, z è coniugato (non sapevo come mettere il simbolo)
2) $ z^4=|z|^4 $
3) $ |z-1|<=|z+1| $
Ho provato a fare qualcosa, ma senza successo...
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
Risposte
il simbolo era \bar{z} ---> $\bar{z}$
In ogni caso, la prima è semplice, perché $|z|^2=z\bar{z}$ quindi raccogliendo
$$
\bar{z}(z^3-1)=0
$$
quindi sicuramente $z=0$ è soluzione.
Poi ti rimane
$$
z^3=1
$$
che si risolve facilmente con la rappresentazione esponenziale, dalla quale ottieni che le tre soluzioni sono:
$$
z_k=e^{\frac{2}{3}k\pi} \, ,\, k=0,1,2
$$
La seconda si risolve immediatamente in rappresentazione esponenziale, prima di tutto noti che $z=0$ è soluzione banale. poi basta notare che $z^4$ scritto in rappresentazione esponenziale è pari a $|z|^4e^{i4\theta}$ quindi sostituendo devi solo risolvere $e^{i4\theta}=1$.
l'ultima invece è molto semplice, basta rappresentare algebricamente $z=a+ib$ quindi hai che $z-1=a-1+ib$ e $z+1=a+1+ib$ quindi i loro moduli sono :
$$
|z-1|=\sqrt{(a-1)^2-b^2}
\\
|z+1|=\sqrt{(a+1)^2-b^2}
$$
sostituisci, ed ottieni una disequazione reale, come noti puoi togliere le radici e studiare gli argomenti, e come noti la $b$ scompare quindi hai una disequazione reale di secondo grado nella variabile $a$ non ti resta che risolverla.
Spero di averti dato degli spunti, ora prova tu e vedi se ti torna, se non ti vengono chiedi ancora, saluti
In ogni caso, la prima è semplice, perché $|z|^2=z\bar{z}$ quindi raccogliendo
$$
\bar{z}(z^3-1)=0
$$
quindi sicuramente $z=0$ è soluzione.
Poi ti rimane
$$
z^3=1
$$
che si risolve facilmente con la rappresentazione esponenziale, dalla quale ottieni che le tre soluzioni sono:
$$
z_k=e^{\frac{2}{3}k\pi} \, ,\, k=0,1,2
$$
La seconda si risolve immediatamente in rappresentazione esponenziale, prima di tutto noti che $z=0$ è soluzione banale. poi basta notare che $z^4$ scritto in rappresentazione esponenziale è pari a $|z|^4e^{i4\theta}$ quindi sostituendo devi solo risolvere $e^{i4\theta}=1$.
l'ultima invece è molto semplice, basta rappresentare algebricamente $z=a+ib$ quindi hai che $z-1=a-1+ib$ e $z+1=a+1+ib$ quindi i loro moduli sono :
$$
|z-1|=\sqrt{(a-1)^2-b^2}
\\
|z+1|=\sqrt{(a+1)^2-b^2}
$$
sostituisci, ed ottieni una disequazione reale, come noti puoi togliere le radici e studiare gli argomenti, e come noti la $b$ scompare quindi hai una disequazione reale di secondo grado nella variabile $a$ non ti resta che risolverla.
Spero di averti dato degli spunti, ora prova tu e vedi se ti torna, se non ti vengono chiedi ancora, saluti
Ciao e benvenuto 
Prova a usare la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi
EDIT:
@Bossmer: nella prima c'è un refuso, è $z^3-i$
Prova a usare la rappresentazione esponenziale dei numeri complessi
EDIT:
@Bossmer: nella prima c'è un refuso, è $z^3-i$
no non è un refuso, ha detto che non sapeva come scrivere il coniugato di $z$ e quindi ha scritto $iz$ per indicare $\bar{z}$... almeno così ha scritto, poi magari ho capito male io...
Comunque che scortese che sono, non mi ero accorto fossi nuovo del forum! Benvenuto!
Comunque che scortese che sono, non mi ero accorto fossi nuovo del forum! Benvenuto!
"Bossmer":
no non è un refuso, ha detto che non sapeva come scrivere il coniugato di $z$ e quindi ha scritto $iz$ per indicare $\bar{z}$...
Credo che intendesse dire che in $iz$ la $z$ fosse coniugata, cioè che volesse scrivere $i \bar{z}$. Poi può darsi che mi sbagli
Alla fine le parole sono dei significanti senza significato... non importa chi abbia capito correttamente cosa volesse dire, poco cambia nel metodo risolutivo dell'esercizio; anzi se ho capito male io è meglio per lui, perché così può sfruttare l'esercizio che ho svolto io per risolvere il proprio in autonomia.
Concordo
"Bossmer":
il simbolo era \bar{z} ---> $\bar{z}$
In ogni caso, la prima è semplice, perché $|z|^2=z\bar{z}$ quindi raccogliendo
$$
\bar{z}(z^3-1)=0
$$
quindi sicuramente $z=0$ è soluzione.
Poi ti rimane
$$
z^3=1
$$
che si risolve facilmente con la rappresentazione esponenziale, dalla quale ottieni che le tre soluzioni sono:
$$
z_k=e^{\frac{2}{3}k\pi} \, ,\, k=0,1,2
$$
La seconda si risolve immediatamente in rappresentazione esponenziale, prima di tutto noti che $z=0$ è soluzione banale. poi basta notare che $z^4$ scritto in rappresentazione esponenziale è pari a $|z|^4e^{i4\theta}$ quindi sostituendo devi solo risolvere $e^{i4\theta}=1$.
l'ultima invece è molto semplice, basta rappresentare algebricamente $z=a+ib$ quindi hai che $z-1=a-1+ib$ e $z+1=a+1+ib$ quindi i loro moduli sono :
$$
|z-1|=\sqrt{(a-1)^2-b^2}
\\
|z+1|=\sqrt{(a+1)^2-b^2}
$$
sostituisci, ed ottieni una disequazione reale, come noti puoi togliere le radici e studiare gli argomenti, e come noti la $b$ scompare quindi hai una disequazione reale di secondo grado nella variabile $a$ non ti resta che risolverla.
Spero di averti dato degli spunti, ora prova tu e vedi se ti torna, se non ti vengono chiedi ancora, saluti
Ciao a tutti, intanto grazie delle risposte e del benvenuto!
Allora nella prima intendevo con iz, i che moltiplica il coniugato di z, comunque credo di aver capito il metodo...
Poi volevo chiedere aiuto riguardo molti altri esercizi di vario tipo
E' meglio aprire un nuovo topic per ogni argomento oppure metto un titolo riassuntivo e poi metto nel corpo del testo i vari esercizi che non mi risultano?
Grazie, ciao.
se gli esercizi sono dello stesso tipo puoi continuare a scrivere qui, se devi cambiare argomento è meglio se apri un nuovo topic
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