Equazioni differenziali primo ordine
Ciao a tutti!
Non riesco a risolvere questa equazione differenziale:
y'=x(y-2x^2)
Ho posto:
a(x)=x
b(x)=-2x^3
Trovato la primitiva:
A(x)=(x^2)/2
Ho applicato la formula ma non riesco a risolvere l'integrale, nemmeno operando per parti (ho posto come fattore finito prima un termine e poi l'altro ma nulla)
Cosa sbaglio?
Ho una serie di esercizi simili a questo ma ho sempre lo stesso problema
Grazie in anticipo
Non riesco a risolvere questa equazione differenziale:
y'=x(y-2x^2)
Ho posto:
a(x)=x
b(x)=-2x^3
Trovato la primitiva:
A(x)=(x^2)/2
Ho applicato la formula ma non riesco a risolvere l'integrale, nemmeno operando per parti (ho posto come fattore finito prima un termine e poi l'altro ma nulla)
Cosa sbaglio?
Ho una serie di esercizi simili a questo ma ho sempre lo stesso problema
Grazie in anticipo
Risposte
Fai vedere i conti o ricontrollali.
Ci sarà un errore.
Ci sarà un errore.
e^((x^2)/2)*∫(e^(-x^2)/2)*(-2x^3))dx
f'x=x^3 f(x)=x^3/3
g(x)=e^((-x^2)/2) g'(x)=-x*e^((-x^2/2)
Applico integrazione per parti ma non ne esco..
Invece, ponendo f'(x)=e^((-x^2)/2) non so proprio trarne l'integrale..
In ogni caso non penso sia un problema di calcolo perche non riesco a risolvere nemmeno esercizi simili...
f'x=x^3 f(x)=x^3/3
g(x)=e^((-x^2)/2) g'(x)=-x*e^((-x^2/2)
Applico integrazione per parti ma non ne esco..
Invece, ponendo f'(x)=e^((-x^2)/2) non so proprio trarne l'integrale..
In ogni caso non penso sia un problema di calcolo perche non riesco a risolvere nemmeno esercizi simili...
Scegli male il fattore differenziale.
Infatti, integrali del tipo:
\[
I_n(\alpha ):= \int x^{2n+1}\ e^{\alpha x^2}\ \text{d} x
\]
con $n in NN, alpha in RR \setminus \{0\}$ si integrano per parti con fattore differenziale $f^\prime (x) = x e^{alpha x^2}$, in cui la $x$ è “scorporata” dalla potenza dispari $x^(2n+1)$.
Ogni integrazione per parti fa diminuire l’esponente della potenza di due unità, quindi bisogna iterare il procedimento finché l’esponente della potenza non diventa uguale ad uno; poi l’integrale rimanente è elementare.
Se non vuoi integrare per parti troppe volte, puoi fare lo stesso calcolo sfruttando la formula di ricorrenza:
\[
I_n (\alpha ) = \frac{1}{2\alpha}\ x^{2n}\ e^{\alpha x^2} - \frac{n}{\alpha}\ I_{n-1} (\alpha )
\]
che si ottiene nel caso generale.
Infatti, integrali del tipo:
\[
I_n(\alpha ):= \int x^{2n+1}\ e^{\alpha x^2}\ \text{d} x
\]
con $n in NN, alpha in RR \setminus \{0\}$ si integrano per parti con fattore differenziale $f^\prime (x) = x e^{alpha x^2}$, in cui la $x$ è “scorporata” dalla potenza dispari $x^(2n+1)$.
Ogni integrazione per parti fa diminuire l’esponente della potenza di due unità, quindi bisogna iterare il procedimento finché l’esponente della potenza non diventa uguale ad uno; poi l’integrale rimanente è elementare.
Se non vuoi integrare per parti troppe volte, puoi fare lo stesso calcolo sfruttando la formula di ricorrenza:
\[
I_n (\alpha ) = \frac{1}{2\alpha}\ x^{2n}\ e^{\alpha x^2} - \frac{n}{\alpha}\ I_{n-1} (\alpha )
\]
che si ottiene nel caso generale.
Ciao Bianca_,
L'integrale è corretto, puoi anche porre $t := x^2 \implies \text{d}t = 2x \text{d}x $ e poi integrare per parti l'integrale che risulta. Alla fine dovresti riuscire ad ottenere la soluzione dell'equazione differenziale lineare proposta che è semplicemente la seguente:
$y(x) = c e^{x^2/2} + 2x^2 + 4 $
L'integrale è corretto, puoi anche porre $t := x^2 \implies \text{d}t = 2x \text{d}x $ e poi integrare per parti l'integrale che risulta. Alla fine dovresti riuscire ad ottenere la soluzione dell'equazione differenziale lineare proposta che è semplicemente la seguente:
$y(x) = c e^{x^2/2} + 2x^2 + 4 $
Risolto grazie a voi Grazie mille ad entrambi
Grazie mille ad entrambi
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