Equazioni differenziali particolari
Ragazzi, ho un problema serio con l'equazioni differenziali... Dopodomani ho l'esame di analisi e non ho ben capito come risolvere l'equazioni del tipo $ y''+ay'+by=exp(kt)Pn(t) $... Cioè, ho capito che devo confrontare il k con la soluzione del polinomio caratteristico per trovare una soluzione, ma l'altra chi me la dà??? Una volta trovata la soluzione, poi cosa ottengo??? Scusatemi l'ignoranza ma sono proprio nei guai con questo!!!
Risposte
ciao
sinceramente non ho capito perfettamente la tua domanda. Ma spero di aiutarti comunque
stando quello che scrivi, questo mi sembra il classico caso di equazione del tipo
$y''+ay'+by=f(x)$
quindi una equazione di secondo grado non omogenea
devi prima trovare le soluzioni dell'omogenea associata quindi eliminando $f(x)$ e scrivendo solo $y''+ay'+by=0$
Una volta trovata la soluzione dell'omogenea associata (che al suo interno ha ancora le costanti da determinare) che chiamiamo per esempio $k(x)$ (detta anche "integrale generale dell'equazione differenziale")
devi cercare ancora una funzione da sommare letteralmente alla soluzione dell'omogenea associata che di solito viene definita "integrale particolare dell'equazione differenziale".
Questa funzione che cerchiamo chiamiamola $w(x)$.
qui esistono un po' di regolette su come è fatta la funzione $w(x)$ sulla base di come è fatta la funzione $f(x)$
se $f(x)$ è nella forma $e^{kx} \cdot P(x)$ come credo che sia nel tuo caso
allora la funzione $w(x)$ può essere di due tipi:
1) $w(x) = Q(x) \cdot e^{kx}$ se $k$ non è una delle soluzioni dell'omogenea associata
2) $w(x) = x^{r} Q(x) \cdot e^{kx}$ se $k$ è una delle soluzioni dell'omogenea associata
dove $Q(x)$ è un polinomio dello stesso grado di $P(x)$
per esempio se $P(x) = 7x^{2}+4x+3$ quindi un polinomio di secondo grado, allora $Q(x)$ sarà $Q(x) = Ax^2+Bx+C$
dove $A,B,C$ sono costanti che determiniamo in seguito
e $r$ è la molteplicità della soluzione dell'omogenea associata $k$
fatto questo hai che $w(x)$ è una soluzione "particolare" dell'equazione differenziale di partenza (quella non omogenea)
quindi se la sostituiamo al posto di $y$ (e le sue derivate) l'equazione resta verificata.
quindi una volta calcolati $w''(x)$ e $w'(x)$ li sostituiamo nell'equazione originale ottenendo
$w''+aw'+bw=f(x)$ dove per $w$ intendo $w(x)$
a questo punto per comparazione possiamo determinare le costanti $A,B,C$ che avevamo lasciato dentro $w(x)$ e otteniamo $w(x)$ senza costanti
finalmente troviamo la soluzione definitiva facendo la somma come ti ho detto prima
$y = k(x) + w(x)$
a questo punto, se hai le condizioni iniziali (dette anche "al contorno" o "di Cauchy") puoi determinare le costanti che sono rimaste dentro $k(x)$
spero di esserti stato di aiuto
Se hai bisogno chiedi pure
sinceramente non ho capito perfettamente la tua domanda. Ma spero di aiutarti comunque
stando quello che scrivi, questo mi sembra il classico caso di equazione del tipo
$y''+ay'+by=f(x)$
quindi una equazione di secondo grado non omogenea
devi prima trovare le soluzioni dell'omogenea associata quindi eliminando $f(x)$ e scrivendo solo $y''+ay'+by=0$
Una volta trovata la soluzione dell'omogenea associata (che al suo interno ha ancora le costanti da determinare) che chiamiamo per esempio $k(x)$ (detta anche "integrale generale dell'equazione differenziale")
devi cercare ancora una funzione da sommare letteralmente alla soluzione dell'omogenea associata che di solito viene definita "integrale particolare dell'equazione differenziale".
Questa funzione che cerchiamo chiamiamola $w(x)$.
qui esistono un po' di regolette su come è fatta la funzione $w(x)$ sulla base di come è fatta la funzione $f(x)$
se $f(x)$ è nella forma $e^{kx} \cdot P(x)$ come credo che sia nel tuo caso
allora la funzione $w(x)$ può essere di due tipi:
1) $w(x) = Q(x) \cdot e^{kx}$ se $k$ non è una delle soluzioni dell'omogenea associata
2) $w(x) = x^{r} Q(x) \cdot e^{kx}$ se $k$ è una delle soluzioni dell'omogenea associata
dove $Q(x)$ è un polinomio dello stesso grado di $P(x)$
per esempio se $P(x) = 7x^{2}+4x+3$ quindi un polinomio di secondo grado, allora $Q(x)$ sarà $Q(x) = Ax^2+Bx+C$
dove $A,B,C$ sono costanti che determiniamo in seguito
e $r$ è la molteplicità della soluzione dell'omogenea associata $k$
fatto questo hai che $w(x)$ è una soluzione "particolare" dell'equazione differenziale di partenza (quella non omogenea)
quindi se la sostituiamo al posto di $y$ (e le sue derivate) l'equazione resta verificata.
quindi una volta calcolati $w''(x)$ e $w'(x)$ li sostituiamo nell'equazione originale ottenendo
$w''+aw'+bw=f(x)$ dove per $w$ intendo $w(x)$
a questo punto per comparazione possiamo determinare le costanti $A,B,C$ che avevamo lasciato dentro $w(x)$ e otteniamo $w(x)$ senza costanti
finalmente troviamo la soluzione definitiva facendo la somma come ti ho detto prima
$y = k(x) + w(x)$
a questo punto, se hai le condizioni iniziali (dette anche "al contorno" o "di Cauchy") puoi determinare le costanti che sono rimaste dentro $k(x)$
spero di esserti stato di aiuto
Se hai bisogno chiedi pure
Grazie, sei stato chiarissimo!!! Non sono un asso nelle equazioni differenziali ma così mi hai aiutato veramente tanto!!! Allora credo che sia la stessa cosa nel caso in cui si ha $ f(t)=e^(kt)cos(t) $... Grazie ancora!!!
non è la stessa cosa se hai il coseno
Posso contattarti in privato? ho un libro di ricette per le eq. diff. molto utile in pdf (gratuito, quindi niente violazione di copyright) che magari ti serve
Posso contattarti in privato? ho un libro di ricette per le eq. diff. molto utile in pdf (gratuito, quindi niente violazione di copyright) che magari ti serve
Vai, mi faresti un piacere!!!
fammi poi sapere se ti è servito e se ti sembra ben spiegato
tutte le critiche sono ben accette, così lo miglioro
Ciao
tutte le critiche sono ben accette, così lo miglioro

Ciao
Non ci sono cose da migliorare!!! Veramente!!!
Ciao e grazie di nuovo!!
