Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine

[SoftMoon]

Buonasera,sapreste dirmi come si scrive la soluzione dell'equazione differenziale y"(x)+4y(x)=0 in forma esponenziale,anziché nella forma in cui compaiono seno e coseno? Grazie mille!!!

[Studente Anonimo]

Data l'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, omogenea
e a coefficienti costanti:

[math]y''(x) + 4\,y(x) = 0[/math]

, assumendo che una
soluzione sia proporzionale a

[math]e^{\lambda\,x}[/math]

per qualche costante

[math]\small \lambda[/math]

, si ottiene:

[math]\frac{d^2}{dx^2}\left(e^{\lambda\,x}\right) + 4\,e^{\lambda\,x} = 0 \; \Leftrightarrow \; (\lambda^2 + 4)\,e^{\lambda\,x} = 0 \; \Leftrightarrow \; \lambda = \pm 2\,i[/math]

.
Tali radici porgono come soluzioni

[math]\small y_1(x) = c_1\,e^{-2\,i\,x}[/math]

e

[math]\small y_2(x) = c_2\,e^{2\,i\,x}[/math]

,
con

[math]c_1[/math]

e

[math]c_2[/math]

costanti arbitrarie. Dunque, la soluzione generale cercata
è banalmente

[math]y(x) = y_1(x) + y_2(x)\\[/math]

, che è la forma che desideravi.

Se a questo punto si applica l'identità di Eulero:

[math]\small e^{\alpha + i\,\beta} = e^{\alpha}\cos\beta + i\,e^{\alpha}\sin\beta[/math]

,
si ottiene

[math]y(x) = (c_1 + c_2)\,\cos(2x) + i\,(c_1 - c_2)\,\sin(2x)[/math]

e dato che

[math]c_1[/math]

e

[math]c_2[/math]

sono costanti arbitrarie, ciò equivale a scrivere quanto segue:

[math]y(x) = c_1\,\cos(2x) + c_2\,\sin(2x)\\[/math]

, che è la forma che conoscevi.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)