Equazioni differenziali nei problemi di fisica

[alessandro2221]

Qualcuno potrebbe dirmi qual è la soluzione del seguente esercizio?

Un modello per il raffreddamento assume che la velocità -y'(t) con cui l'oggetto si raffredda (ove y(t) è la temperatura dell'oggetto all'istante t )è direttamente proporzionale alla differenza tra la temperatura dell'oggetto e la temperatura dell'ambiente circostante. scrivere l'equazione differenziale di questo modello.
Una piastra con temperatura iniziale di 100°C viene collocata in un ambiente con temperatura costante i 20°C. Se la costante di raffreddamento è log16 (ln16), con il tempo in ore qual è la temperatura della piastra dopo mezzora?

io ho impostato l'equazione in questo modo: -y'(t)=K(y(t)-Ta) cioè -y'(t)/(y(t)-Ta)-K=0 da qua ho fatto l'integrale della funzione e ho ricavato la costante c sostituendo t=0 e y(t)=100, quindi ho calcolato il valore della temperatura dopo mezzora ma il risultato mi viene minore della temperatura ambiente il che è impossibile! qualcuno mi può dire dove ho sbagliato? grazie

[Ziben]

Ciao,
$-y'(t)=k(y(t)-T_a)$ mi sembra corretta. Poi

$-(y'(t))/(y(t)-T_a) = k$

per cui

$dy/(y-T_a) = -kdt$

Integrando:

$[log(z-T_a)]_(y_0)^y = -k(t-t_0)$

$log(y-T_a) - log(y_0-T_a) = -k(t-t_0)$

$log((y-T_a)/(y_0-T_a)) = -k(t-t_0)$

$y(t)=(y_0-T_a)e^(-k(t-t_0))+T_a$

Immagino che fino a qui ci sei. Sostituendo $t_0=0$, $y_0=100 °C$, $T_a=20 °C$ e $k=log16$

$y(t)=80e^(-tlog16)+20$

Se $t=1/2$ si ha $y(1/2)= 40 °C$

Ti torna?

[alessandro2221]

grazie mille della spiegazione. mi ero portato avanti un segno sbagliato e non riuscivo a trovarlo e per questo non mi veniva