Equazioni differenziali metodo funzioni simili
Come si risolvono le equazioni differenziali con il metodo delle funzioni simili?
Risposte
Ciao
il metodo delle funzioni simili si usa principalmente per risolvere le equazioni differenziali di grado superiore al prima (tipicamente di secondo grado) non omogenee a coefficienti costanti
prendiamo per esempio un'equazione nella forma
$y'' + ay'+by = f(x)$
per prima cosa ci si "dimentica" della funzione $f(x)$ e la si pone pari a zero ottenendo quella che si chiama "equazione omogenea associata"
$y'' + ay'+by = 0$
e la si risolve. Risolvendola si deve ricavare l'equazione algebrica $lambda^2+a lambda +b=0$ che avrà due soluzioni $lambda_1$ e $lambda_2$
la soluzione dell'omogenea associata ci da una prima parte della soluzione che chiamamo $y_G$ che è anche detto "integrale generale"
poi si prende la parte non omogenea ovvero la $f(x)$ e si vede se ha una forma "semplice" (che dopo di elenco) e in base a quella si determina la seconda parte della soluzione che chiamiamo $y_P$ detto anche "integrale particolare"
vediamo ora i casi
1) se $f(x) = P(x)$ ovvero un polinomio qualsiasi di grado $n$ allora abbiamo che
1a) se $lambda_1 = 0$ o $lambda_2 = 0 $ allora
$y_P = x \cdot Q(x)$
1b) se $lambda_1 \ne 0$ e $lambda_2 \ne 0 $ allora
$y_P = Q(x)$
dove $Q(x)$ è un polinomio dello stesso grado di $P(x)$
per esempio se $P(x) = 3x^2+5x$ ovvero un polinomio di secondo grado, allora $Q(x) = Ax^2+Bx+C$ dove $A$, $B$ e $C$ sono costanti che dobbiamo determinare (poi vediamo come)
2) se $f(x) = P(x) \cdot e^(alpha x)$ dove è sempre un polinomio di grado $n$ come nel caso precedente abbiamo che
2a) se $lambda_1 = alpha$ o $lambda_2 = alpha $ allora
$y_P = x^r \cdot Q(x) \cdot e^(alpha x)$
dove $r$ è la molteplicità della soluzione $lambda_1$ (o $lambda_2$)
e $Q(x)$ come prima è un polinomio dello stesso grado di $P(x)$
2b) se $lambda_1 \ne alpha$ o $lambda_2 \ne alpha $ allora
$y_P = Q(x) \cdot e^(alpha x)$
3) se $f(x) = e^(alpha x) (k_1 sin(beta x) + k_2 cos(beta x)) $ dove $k_1$ e $k_2$ sono due costanti numeriche (dove una delle due può anche essere $=0$) abbiamo che
3a) se $lambda_1 = alpha \pm i beta$ o $lambda_2 = alpha \pm i beta $ allora
$y_P = x^r e^(alpha x) (A sin(beta x) + B cos(beta x)) $
dove $r$ è la molteplicità della soluzione $lambda_1$ (o $lambda_2$)
3b) se $lambda_1 \neq alpha \pm i beta$ e $lambda_2 \neq alpha \pm i beta $ allora
$y_P = e^(alpha x) (A sin(beta x) + B cos(beta x)) $
questi sono alcuni esempi, credo che ce ne siano ancora altri relativamente semplici
proseguiamo
trovato come deve essere $y_P$ dobbiamo ricordare che $y_P$ è una delle possibili soluzioni dell'equazione differenziale iniziale, quindi se la sostituiamo al posto di $y$ (mettendo $y_P '$ al posto di $y'$, $y_P ''$ al posto di $y''$, etc ) ci troviano alla sinistra dell'uguale una forma contente le costanti $A$, $B$ etc.
immaginiamo di aver fatto tutti i passaggi e di avere una cosa del tipo:
$(A-B)x^2 - (A+B)x =3x^2+5x $
a questo punto per "similitudine" deduciamo che
$A-B = 3$
$-(A+B) = 5$
ottenendo così un sistema da cui ricaviamo i valori numerici di $A$ e di $B$
una volta trovati li sostituisci nella tua $y_P$ trovata in precedenza per completarla
quando hai trovato sia $y_G$ che $y_P$ la soluzione vera e propria della tua equazione differenziale non è altro che la somma delle due ovvero
$y = y_G + y_P$
spero di esserti stato di aiuto
se qualcosa non ti è chiaro chiedi pure
il metodo delle funzioni simili si usa principalmente per risolvere le equazioni differenziali di grado superiore al prima (tipicamente di secondo grado) non omogenee a coefficienti costanti
prendiamo per esempio un'equazione nella forma
$y'' + ay'+by = f(x)$
per prima cosa ci si "dimentica" della funzione $f(x)$ e la si pone pari a zero ottenendo quella che si chiama "equazione omogenea associata"
$y'' + ay'+by = 0$
e la si risolve. Risolvendola si deve ricavare l'equazione algebrica $lambda^2+a lambda +b=0$ che avrà due soluzioni $lambda_1$ e $lambda_2$
la soluzione dell'omogenea associata ci da una prima parte della soluzione che chiamamo $y_G$ che è anche detto "integrale generale"
poi si prende la parte non omogenea ovvero la $f(x)$ e si vede se ha una forma "semplice" (che dopo di elenco) e in base a quella si determina la seconda parte della soluzione che chiamiamo $y_P$ detto anche "integrale particolare"
vediamo ora i casi
1) se $f(x) = P(x)$ ovvero un polinomio qualsiasi di grado $n$ allora abbiamo che
1a) se $lambda_1 = 0$ o $lambda_2 = 0 $ allora
$y_P = x \cdot Q(x)$
1b) se $lambda_1 \ne 0$ e $lambda_2 \ne 0 $ allora
$y_P = Q(x)$
dove $Q(x)$ è un polinomio dello stesso grado di $P(x)$
per esempio se $P(x) = 3x^2+5x$ ovvero un polinomio di secondo grado, allora $Q(x) = Ax^2+Bx+C$ dove $A$, $B$ e $C$ sono costanti che dobbiamo determinare (poi vediamo come)
2) se $f(x) = P(x) \cdot e^(alpha x)$ dove è sempre un polinomio di grado $n$ come nel caso precedente abbiamo che
2a) se $lambda_1 = alpha$ o $lambda_2 = alpha $ allora
$y_P = x^r \cdot Q(x) \cdot e^(alpha x)$
dove $r$ è la molteplicità della soluzione $lambda_1$ (o $lambda_2$)
e $Q(x)$ come prima è un polinomio dello stesso grado di $P(x)$
2b) se $lambda_1 \ne alpha$ o $lambda_2 \ne alpha $ allora
$y_P = Q(x) \cdot e^(alpha x)$
3) se $f(x) = e^(alpha x) (k_1 sin(beta x) + k_2 cos(beta x)) $ dove $k_1$ e $k_2$ sono due costanti numeriche (dove una delle due può anche essere $=0$) abbiamo che
3a) se $lambda_1 = alpha \pm i beta$ o $lambda_2 = alpha \pm i beta $ allora
$y_P = x^r e^(alpha x) (A sin(beta x) + B cos(beta x)) $
dove $r$ è la molteplicità della soluzione $lambda_1$ (o $lambda_2$)
3b) se $lambda_1 \neq alpha \pm i beta$ e $lambda_2 \neq alpha \pm i beta $ allora
$y_P = e^(alpha x) (A sin(beta x) + B cos(beta x)) $
questi sono alcuni esempi, credo che ce ne siano ancora altri relativamente semplici
proseguiamo
trovato come deve essere $y_P$ dobbiamo ricordare che $y_P$ è una delle possibili soluzioni dell'equazione differenziale iniziale, quindi se la sostituiamo al posto di $y$ (mettendo $y_P '$ al posto di $y'$, $y_P ''$ al posto di $y''$, etc ) ci troviano alla sinistra dell'uguale una forma contente le costanti $A$, $B$ etc.
immaginiamo di aver fatto tutti i passaggi e di avere una cosa del tipo:
$(A-B)x^2 - (A+B)x =3x^2+5x $
a questo punto per "similitudine" deduciamo che
$A-B = 3$
$-(A+B) = 5$
ottenendo così un sistema da cui ricaviamo i valori numerici di $A$ e di $B$
una volta trovati li sostituisci nella tua $y_P$ trovata in precedenza per completarla
quando hai trovato sia $y_G$ che $y_P$ la soluzione vera e propria della tua equazione differenziale non è altro che la somma delle due ovvero
$y = y_G + y_P$
spero di esserti stato di aiuto
se qualcosa non ti è chiaro chiedi pure
Ciao lorvar 
senza per niente screditare quanto detto da Summerwind, personalmente trovo che distinguere troppi casi possa portare ad un inutile sforzo di memoria a volte; quindi ti consiglio di dare anche un'occhiata qui:
metodo-di-somiglianza-per-equazioni-differenziali-t93056.html
Nei due casi che riporto, sono sintetizzati tutti quelli esposti da Summerwind. Magari a volte ti tocca fare due conticini di piu, ma per lo meno hai poco da imparare a memoria e vai sul sicuro. Poi, con la pratica, ti verrà automatico distinguere ulteriormente i casi come fa Summerwind...
Ciao
Giuseppe
senza per niente screditare quanto detto da Summerwind, personalmente trovo che distinguere troppi casi possa portare ad un inutile sforzo di memoria a volte; quindi ti consiglio di dare anche un'occhiata qui:metodo-di-somiglianza-per-equazioni-differenziali-t93056.html
Nei due casi che riporto, sono sintetizzati tutti quelli esposti da Summerwind. Magari a volte ti tocca fare due conticini di piu, ma per lo meno hai poco da imparare a memoria e vai sul sicuro. Poi, con la pratica, ti verrà automatico distinguere ulteriormente i casi come fa Summerwind...
Ciao
Giuseppe
@Plepp:
sono d'accordo con te che ci siano forme piú "compatte" per descrivere il da farsi. Anche io adesso non mi tengo piú a mente tutta la casistica, e in molte occasioni le soluzioni mi vengono automaticamente.
Devo peró dire che, quando ho iniziato a vedere come usare questo metodo, un'eccessiva "compattezza" nella descrizione mi aveva creato non pochi problemi. Per questo motivo ho preferito dare qualche esempio piú diretto.
Con la pratica poi si snellisce il tutto
sono d'accordo con te che ci siano forme piú "compatte" per descrivere il da farsi. Anche io adesso non mi tengo piú a mente tutta la casistica, e in molte occasioni le soluzioni mi vengono automaticamente.
Devo peró dire che, quando ho iniziato a vedere come usare questo metodo, un'eccessiva "compattezza" nella descrizione mi aveva creato non pochi problemi. Per questo motivo ho preferito dare qualche esempio piú diretto.
Con la pratica poi si snellisce il tutto
Grazie davvero a entrambi! Se supererò analisi vi porterò dei fiori XD
Chiarissimo tutto, vado ad applicarlo
Chiarissimo tutto, vado ad applicarlo
"Summerwind78":
Devo peró dire che, quando ho iniziato a vedere come usare questo metodo, un'eccessiva "compattezza" nella descrizione mi aveva creato non pochi problemi. Per questo motivo ho preferito dare qualche esempio piú diretto. Con la pratica poi si snellisce il tutto
Si vede allora che il discorso è soggettivo
a me aveva creato problemi tenere a mente 10.000 casi...e ho tirato un sospiro di sollievo quando ho scoperto che esisteva un'esposizione più compatta del metodo "lorvar":
Grazie davvero a entrambi! Se supererò analisi vi porterò dei fiori XD
Chiarissimo tutto, vado ad applicarlo
Mi raccomando niente rose! Le detesto
Scherzo... figurati, se hai bisogno di altro nn esitare. Ciao
Un dubbio che non so perchè mi è venuto ora:
se ho x^3-x^2+1=P(x)
e ho Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Come trovo a b c d? non riesco a capire il passaggio :/
se ho x^3-x^2+1=P(x)
e ho Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d
Come trovo a b c d? non riesco a capire il passaggio :/
Se come ho capito $Q(x)$ è la soluzione particolare che stai cercando, allora sostituisci $Q(x)$ nell'equazione (quindi dovrai calcolare le derivate fino all'ordine necessario). L'espressione che ottieni a primo membro dev'essere uguale a quella che hai al secondo membro: ponendo questa condizione trovi i valori di $a,b,c, ... $.
Se per esempio, una volta sostituita $Q(x)$, ti trovi in una situazione del genere:
\[(b-c)x^2+bx+a=x^2+3\]
allora, dovendo essere il primo membro uguale al secondo, hai che
\[
\begin{cases}
b-c=1\qquad\qquad \text{(coefficiente di}\ x^2)\\
b=0\qquad\qquad \text{(coefficiente di}\ x)\\
a=3 \qquad\qquad \text{(termine noto)}
\end{cases}
\]
Risolvendo il sistema trovi i valori $a,b,c$ da inserire poi nella tua soluzione particolare.
Ciao
Se per esempio, una volta sostituita $Q(x)$, ti trovi in una situazione del genere:
\[(b-c)x^2+bx+a=x^2+3\]
allora, dovendo essere il primo membro uguale al secondo, hai che
\[
\begin{cases}
b-c=1\qquad\qquad \text{(coefficiente di}\ x^2)\\
b=0\qquad\qquad \text{(coefficiente di}\ x)\\
a=3 \qquad\qquad \text{(termine noto)}
\end{cases}
\]
Risolvendo il sistema trovi i valori $a,b,c$ da inserire poi nella tua soluzione particolare.
Ciao
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