Equazioni differenziali (metodo della somiglianza)

[jarrod]

Salve,
stavo studiando dal punto di vista teorico l'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea col metodo di somiglianza. Ho visto che ci sono vari casi, ho un piccolo dubbio su un caso.
Il caso è del tipo: $ y'' + ay' + by = C * sin(\beta x) + D * (cos \beta x) $

In questo caso vengono distinti altri due sottocasi:
cioè:
- se $i\beta$ non è radice dell'equazione caratteristica, l'integrale particolare è: $y_2(x) = A * sin(\beta x) + B * (cos \beta x) $

- se $i\beta$ è radice dell'equazione caratteristica, l'integrale particolare è: $y_2(x) = x *(A * sin(\beta x) + B * (cos \beta x)) $

Non capisco una cosa, cosa si intende per radice dell' equazione caratteristica?

[21zuclo]

"jarrod":Non capisco una cosa, cosa si intende per radice dell' equazione caratteristica?

Si intendono le radici del polinomio caratteristico.. Ti faccio un esempio

$ y'''(x)+9y'(x)=2cos(x)-sin (x) $

per prima cosa dobbiamo risolvere l'eq. omogenea $ y'''(x)+9y'(x)=0 $

analizziamo il polinomio caratteristico $ \lambda^3+9\lambda=0 \to \lambda(\lambda^2+9)=0 $

e ti trovi le soluzioni dell'eq. omogenea
$ y_(om)(x)=c_1+c_2 cos(3x)+c_3 sin(3x) $

Ora per la teoria, tra le soluzioni c'è una funzione del tipo
$ y(x)= C cos(x)+D sin (x) $

Derivando e imponendo di soddisfare l’equazione differenziale,dovresti ottenere
$ C sin x − Dcos x − 9C sin x + 9Dcos(x)=2cos(x)-sin(x) $

mettendo a sistema, ti trovi che $ { ( C=1/8 ),( D=1/4 ):} $

Ok, l'integrale generale è
$ y(x)=1/8 cos(x)+1/4 sin(x)+c_1+c_2 cos(3x)+c_3 sin(3x) $

[jarrod]

quindi riassumendo, quel caso può essere risolto in base a due sottocasi. Risolvendo il polinomio caratteristico troviamo le due soluzioni (distinte oppure coincidenti), se una delle soluzioni è diversa da $i\beta$ procedo con l'integrale particolare $y_2(x) = x *(A * sin(\beta x) + B * (cos \beta x)) $, altrimenti se una delle soluzioni è diversa da $i\beta$ allora procedo con l'integrale particolare $y_2(x) = A * sin(\beta x) + B * (cos \beta x) $. Qualcuno può confermare?