Equazioni differenziali: metodo del fattore integrante

[marco.atzori.1983]

Salve a tutti. Sto cercando di risolvere questo esercizio:

"Risolvere il seguente problema a valori iniziali"

$dy/dx - y/x = 3x^3$

$y(-1) = 2$

Step 1: moltiplico primo e secondo membro per $ \mu $

$\mu dy/dx - \mu y/x = \mu 3x^3$ (1)

Step 2: scrivo la derivata rispetto a $ x $ di $ \mu y $ e la impongo uguale alla (1)

$d/dx (\mu y) = \mu (d/dx y) + y (d/dx \mu) = \mu (d/dx y) - \mu y/x = \mu 3x^3$

semplifico $ \mu (d/dx y) $

$d/dx (\mu y) = y (d/dx \mu) = - \mu y/x = \mu 3x^3$ (2)

Step 3: dalla (2) deduco $ \mu $

$ (d \mu)/dx = - \mu/x $ (il mio docente ha detto che si omette la $y$ perché questa uguaglianza è verificata per ogni $y$)

che non è altro che un'equazione differenziale a variabili separabili

$ 1/\mu d \mu = - 1/x dx$

integro

$\int 1/\mu d \mu = \int - 1/x dx$

$ \ln |\mu| = - \ln |x|$

$ \ln |\mu| = \ln |x^{-1}|$

$ \ln |\mu| = \ln |1/x|$ quindi

$ \mu = 1/x $

Il valore di $ \mu $ è calcolato in maniera corretta?

Grazie in anticipo