Equazioni differenziali lineari: problemi col Wronskiano

[ravanello2]

Ciao a tutti,
dovrei risolvere questi esercizi con risposte chiuse, riguardanti il Wronskiano di equazioni differenziali lineari omogenee, di questo tipo:

Sia $W(x)$ il Wronskiano relativo a 3 soluzioni dell’equazione differenziale lineare $y'''+y''=0$. Allora:
a) $W(x)$ $!=$ $0$ per ogni $x$ $in$ $RR$
b) $W(x) = 0$ per ogni $x$ $in$ $RR$
c) Se $W(0) > 0$, allora $W(x)$ $!=$ $0$ per ogni $x$ $in$ $RR$
d) Esiste $\bar x$ $in$ $RR$ tale che $W$($\bar x$) $!=$ $0$

Oppure
Sia $W(x)$ il Wronskiano relativo a 2 soluzioni dell’equazione differenziale lineare $y''+y=0$. Allora:
a) $(W(0))^3>0$
b) $(W(1))^2=0$
c) $W(1)W(2)>=0$
d) Esiste $\bar x$ $in$ $RR$ tale che $W$($\bar x$) $!=$ $0$

Per entrambe le domende risposta corretta è la c).
Ho provato a risolvere le equazioni caratteristiche ricavando poi le relative soluzioni dell'omogenea e quindi a calcolare il Wronskiano, ma non mi quadra.

Non capisco dove sbaglio, se nell'impostazione della soluzione (cioè non devo calcolare il Wronskiano ma ragionare su qualcos'altro) o nel trovare le soluzioni dell'omogenea o nel calcolare il Wronskiano.

Qualcuno è in grado di aiutarmi?
Grazie.

[gugo82]

Per rispondere non c’è da fare nessun calcolo.
Hai studiato la teoria?

[ravanello2]

Ciao gugo82, so che il Wronskiano consente di distinguere se le soluzioni sono (se diverso da zero) o meno linearmente indipendenti e so che si utilizza per trovare la soluzione particolare della non omogenea nel metodo di variazione delle costanti.
Però non capisco come da queste nozioni posso rispondere ai quesiti.

[gugo82]

Il fatto è che non hai letto con attenzione il Teorema del Wronskiano o, semplicemente, non l’hai capito.

Se non ricordo male, la faccenda va così:

Siano $L[y] = 0$ un’equazione differenziale lineare omogenea di ordine $n$ ed $y_1, …, y_n$ $n$ soluzioni di tale EDO[nota]Il che equivale a dire che ogni $y_k$ è almeno di classe $C^(n-1)$ e derivabile $n$ volte nel suo dominio.[/nota] e $W$ il loro wronskiano.
Sono equivalenti le seguenti proposizioni:

[list=1][*:296zo7mw] $y_1, …, y_n$ sono linearmente indipendenti nel loro comune intervallo di definizione;

[/*:m:296zo7mw]
[*:296zo7mw] $W(x) != 0$ identicamente nel comune intervallo di definizione di $y_1, …, y_n$;

[/*:m:296zo7mw]
[*:296zo7mw] esiste un punto $x_0$ interno al comune intervallo di definizione di $y_1, …, y_n$ tale che $W(x_0) != 0$;

[/*:m:296zo7mw]
[*:296zo7mw] $W$ ha segno costante (i.e., sempre positivo o sempre negativo) nel comune intervallo di definizione di $y_1, …, y_n$.[/*:m:296zo7mw][/list:o:296zo7mw]

il cui punto 4 segue immediatamente dalla continuità del wronskiano (che è conseguenza della continuità delle derivate di $y_k$) e dal teorema degli zeri, e per contrapposizione:

Nelle stesse ipotesi del teorema precedente, sono equivalenti le seguenti proposizioni:

[list=1][*:296zo7mw] $y_1, …, y_n$ sono linearmente dipendenti nel loro comune intervallo di definizione;

[/*:m:296zo7mw]
[*:296zo7mw] $W(x) = 0$ identicamente nel comune intervallo di definizione di $y_1, …, y_n$;

[/*:m:296zo7mw]
[*:296zo7mw] esiste un punto $x_0$ interno al comune intervallo di definizione di $y_1, …, y_n$ tale che $W(x_0) = 0$.[/*:m:296zo7mw][/list:o:296zo7mw]

In particolare, la validità dei punti c in entrambe le domande è conseguenza della 4 del primo teorema e della 2 del secondo.

[ravanello2]

Che, nel caso del secondo quesito, equivale a dire: non so nulla del valore di $W$ nei vari punti, ma so solo che il prodotto tra il valore di $W$ in due punti diversi o è positivo (perchè entrambi i valori sono positivi o entrambi sono negativi) oppure è uguale a zero.

Grazie mille