Equazioni differenziali lineari - dubbio
Salve a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sui differenziali che hanno la parte destra dell' uguale nella forma $ e^a *x * (h*cos(beta*x) + k*sin(beta*x)) $
in particolare sto affrontando degli esercizi in cui il blocco alla destra dell'uguale è formato solo da $ cos $ o da $ sin $ e non capisco se, nel calcolo della soluzione particolare, devo considerare $ y0 = e^a *x * (a*cos(beta*x) + b*sin(beta*x)) $ oppure se devo considerare solo il $ cos $ o solo il $ sin $ (a seconda di quello che mi viene dato nell'esercizio ovviamente). Ho provato più volte entrambi i casi ma il risultato non mi torna mai...
es. $ y" +6y' + 9y = 6*cos(3x) $
soluzione equazione caratteristica: $ y1 = e^(-3*x) * (c1+c2*x)
soluzione particolare: qui il dubbio: è da considerare $ y0 = a*cos(3x) + sin(3x) $ oppure $ y0=a*cos(3x) $ ?
Grazie a tutti.
ciao!
in particolare sto affrontando degli esercizi in cui il blocco alla destra dell'uguale è formato solo da $ cos $ o da $ sin $ e non capisco se, nel calcolo della soluzione particolare, devo considerare $ y0 = e^a *x * (a*cos(beta*x) + b*sin(beta*x)) $ oppure se devo considerare solo il $ cos $ o solo il $ sin $ (a seconda di quello che mi viene dato nell'esercizio ovviamente). Ho provato più volte entrambi i casi ma il risultato non mi torna mai...
es. $ y" +6y' + 9y = 6*cos(3x) $
soluzione equazione caratteristica: $ y1 = e^(-3*x) * (c1+c2*x)
soluzione particolare: qui il dubbio: è da considerare $ y0 = a*cos(3x) + sin(3x) $ oppure $ y0=a*cos(3x) $ ?
Grazie a tutti.
ciao!
Risposte
$\sin0=0$ in tale esempio non cambia!
cavoli ma considerando $ sin=0$ avrei:
$ y0 = a*cos(3x) $
$ y'0 = -3*a*sin(3x) $
$ y"0 = -9*a*cos(3x) $
quindi:
$ -9*a*cos(3x) -18*a*sin(3x)+ 9*a*cos(3x) = 6*cos(3x) $
da cui rimane solo :
$ -18*a*sin(3x) = 0 $
anche negli altri esercizi, finisce sempre che mi si elidono i termini che invece mi dovrebbero rimanere perchè presenti anche dopo l'uguale...ed ovviamente il risultato risulta sbagliato..
Vedete per caso dove sbaglio??
Grazie.
Ciao!
$ y0 = a*cos(3x) $
$ y'0 = -3*a*sin(3x) $
$ y"0 = -9*a*cos(3x) $
quindi:
$ -9*a*cos(3x) -18*a*sin(3x)+ 9*a*cos(3x) = 6*cos(3x) $
da cui rimane solo :
$ -18*a*sin(3x) = 0 $
anche negli altri esercizi, finisce sempre che mi si elidono i termini che invece mi dovrebbero rimanere perchè presenti anche dopo l'uguale...ed ovviamente il risultato risulta sbagliato..
Vedete per caso dove sbaglio??
Grazie.
Ciao!
Tre note:
1. Si chiamano equazioni differenziali ordinarie lineari, non differenziali; i differenziali sono altra cosa.
2. Cos'è [tex]$r(x)$[/tex]? Secondo te le notazioni sono universali?
3. Evita lo stile sms; qui le parole tendiamo ad usarle nella loro interezza e nel loro significato preciso.
Per il resto, data la natura del thread, lascio la palla ad altri.
1. Si chiamano equazioni differenziali ordinarie lineari, non differenziali; i differenziali sono altra cosa.
2. Cos'è [tex]$r(x)$[/tex]? Secondo te le notazioni sono universali?
3. Evita lo stile sms; qui le parole tendiamo ad usarle nella loro interezza e nel loro significato preciso.
Per il resto, data la natura del thread, lascio la palla ad altri.
Ok gugo82, dovrei aver sistemato tutto.
Ciao.
Ciao.
Ancora: credo che "blocco a destra dell'uguale" significhi termine noto, no?
Ad ogni modo, quando hai un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti d'ordine [tex]$N$[/tex] [tex]$Ly=r$[/tex], con [tex]$Ly:=\sum_{k=0}^{N} a_k\ y^{(k)}$[/tex], ed il termine noto [tex]$r$[/tex] viene nella forma “buona”:
[tex]$r(x)=e^{ax} [p_n(x)\ \cos bx+ q_m(x)\ \sin bx]$[/tex]
con [tex]$a,b\in \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$p_n(x),q_m(x)$[/tex] polinomi di grado [tex]$n$[/tex] ed [tex]$m$[/tex], per determinare una soluzione particolare dell'equazione completa puoi procedere come segue:
[list=1] [*:3k42602d] controlli se il numero complesso individuato dal termine noto [tex]$z:=a+\imath b$[/tex] è soluzione dell'equazione caratteristica associata all'operatore [tex]$L$[/tex], ossia soluzione di [tex]$\sum_{k=0}^N a_k\ \lambda^k =0$[/tex]; in caso affermativo, ne calcoli la molteplicità [tex]$\mu$[/tex] e vai al passo 3, altrimenti vai al passo 2.
[/*:m:3k42602d]
[*:3k42602d] se il numero complesso [tex]$z$[/tex] non è soluzione dell'equazione caratteristica, allora la soluzione dell'equazione completa è da ricercarsi nella forma:
(A) [tex]$y(x)=e^{ax} [P_l(x)\ \cos bx+ Q_l(x)\ \sin bx]$[/tex]
in cui [tex]$P_l(x),Q_l(x)$[/tex] sono polinomi incogniti di grado [tex]$l=\max \{ n,m\}$[/tex] (ossia di grado uguale al più grande tra i gradi di [tex]$p_n$[/tex] e [tex]$q_m$[/tex]).
[/*:m:3k42602d]
[*:3k42602d] se invece [tex]$z$[/tex] è soluzione dell'equazione caratteristica ed ha molteplicità [tex]$\mu$[/tex], la soluzione particolare dell'equazione completa va ricercata nella forma:
(B) [tex]$y(x)=e^{ax} [x^\mu P_l(x)\ \cos bx+ x^\mu Q_l(x)\ \sin bx]$[/tex]
ove [tex]$P_l(x),Q_l(x)$[/tex] sono polinomi incogniti di grado [tex]$l:=\max \{ n,m\}$[/tex].
[/*:m:3k42602d]
[*:3k42602d] Per determinare i polinomi incogniti [tex]$P_l(x),Q_l(x)$[/tex] si procede come segue:
Ad ogni modo, quando hai un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti d'ordine [tex]$N$[/tex] [tex]$Ly=r$[/tex], con [tex]$Ly:=\sum_{k=0}^{N} a_k\ y^{(k)}$[/tex], ed il termine noto [tex]$r$[/tex] viene nella forma “buona”:
[tex]$r(x)=e^{ax} [p_n(x)\ \cos bx+ q_m(x)\ \sin bx]$[/tex]
con [tex]$a,b\in \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$p_n(x),q_m(x)$[/tex] polinomi di grado [tex]$n$[/tex] ed [tex]$m$[/tex], per determinare una soluzione particolare dell'equazione completa puoi procedere come segue:
[list=1] [*:3k42602d] controlli se il numero complesso individuato dal termine noto [tex]$z:=a+\imath b$[/tex] è soluzione dell'equazione caratteristica associata all'operatore [tex]$L$[/tex], ossia soluzione di [tex]$\sum_{k=0}^N a_k\ \lambda^k =0$[/tex]; in caso affermativo, ne calcoli la molteplicità [tex]$\mu$[/tex] e vai al passo 3, altrimenti vai al passo 2.
[/*:m:3k42602d]
[*:3k42602d] se il numero complesso [tex]$z$[/tex] non è soluzione dell'equazione caratteristica, allora la soluzione dell'equazione completa è da ricercarsi nella forma:
(A) [tex]$y(x)=e^{ax} [P_l(x)\ \cos bx+ Q_l(x)\ \sin bx]$[/tex]
in cui [tex]$P_l(x),Q_l(x)$[/tex] sono polinomi incogniti di grado [tex]$l=\max \{ n,m\}$[/tex] (ossia di grado uguale al più grande tra i gradi di [tex]$p_n$[/tex] e [tex]$q_m$[/tex]).
[/*:m:3k42602d]
[*:3k42602d] se invece [tex]$z$[/tex] è soluzione dell'equazione caratteristica ed ha molteplicità [tex]$\mu$[/tex], la soluzione particolare dell'equazione completa va ricercata nella forma:
(B) [tex]$y(x)=e^{ax} [x^\mu P_l(x)\ \cos bx+ x^\mu Q_l(x)\ \sin bx]$[/tex]
ove [tex]$P_l(x),Q_l(x)$[/tex] sono polinomi incogniti di grado [tex]$l:=\max \{ n,m\}$[/tex].
[/*:m:3k42602d]
[*:3k42602d] Per determinare i polinomi incogniti [tex]$P_l(x),Q_l(x)$[/tex] si procede come segue:
- [*:3k42602d] si sostituisce una loro espressione esplicita:
[tex]$P_l(x) = \sum_{h=0}^l \alpha_h\ x^h,\ Q_l(x)=\sum_{h=0}^l \beta_h\ x^h$[/tex]
nella soluzione particolare (nella forma (A) o (B) a seconda del caso) e si deriva tale soluzione fino all'ordine [tex]$N$[/tex] dell'equazione;
[/*:m:3k42602d]
[*:3k42602d] si sostituiscono le derivate della soluzione particolare nell'equazione e si fanno le opportune semplificazioni, cercando di mettere il termine [tex]$Ly$[/tex] nella forma [tex]$\text{polinomio per coseno + polinomio per seno}$[/tex];
[/*:m:3k42602d]
[*:3k42602d] a questo punto si uguagliano i coefficienti dell'espressione [tex]$Ly$[/tex] a quelli omologhi dell'espressione del termine noto [tex]$r$[/tex], ricavando un sistema di equazioni lineari nelle [tex]$2(l+1)$[/tex] incognite [tex]$\alpha_0,\ldots ,\alpha_l, \beta_0,\ldots ,\beta_l$[/tex];
[/*:m:3k42602d]
[*:3k42602d] si risolve il sistema in modo da determinare finalmente i coefficienti dei polinomi incogniti;[/*:m:3k42602d][/list:u:3k42602d]
[/*:m:3k42602d]
[*:3k42602d] Infine si sostituiscono i coefficienti trovati al passo precedente nell'espressione esplicita dell'integrale particolare, che in tal modo risulta completamente determinato.[/*:m:3k42602d][/list:o:3k42602d]
Prova ad applicare questo metodo alla tua equazione e vedi cosa ne esce.
Ok,ho scoperto dove sbagliavo...riporto la soluzione qui sotto nel caso possa servire a qualcuno:
$ y0 = (e^(0*x)) * a*cos(3x) + b*sin(3x)) = a*cos(3x) + b*sin(3x) $
$ y0' = -3*a*sin(3x) + 3*b*cos(3x) $
$ y0'' = -9*a*cos(3x) - 9*b*sin(3x) $
quindi sostituendo alla funzione iniziale:
$ ( -9*a*cos(3x) - 9*b*sin(3x) ) + (6*(-3*a*sin(3x) + 3*b*cos(3x))) + (9*(a*cos(3x) + b*sin(3x)))) = 6*cos(3x) $
$ cos(3x)*(-9a + 18b + 9a) + sin(3x)*(-9b -18a +9b) = 6*cos(3x)$
quindi:
$ (18b = 6) $ ovvero $ b=1/3 $
$ (-18a = 0 ) $ ovvero $ a=0 $
quindi
$y0 = 1/3 *sin(3x)
$ y0 = (e^(0*x)) * a*cos(3x) + b*sin(3x)) = a*cos(3x) + b*sin(3x) $
$ y0' = -3*a*sin(3x) + 3*b*cos(3x) $
$ y0'' = -9*a*cos(3x) - 9*b*sin(3x) $
quindi sostituendo alla funzione iniziale:
$ ( -9*a*cos(3x) - 9*b*sin(3x) ) + (6*(-3*a*sin(3x) + 3*b*cos(3x))) + (9*(a*cos(3x) + b*sin(3x)))) = 6*cos(3x) $
$ cos(3x)*(-9a + 18b + 9a) + sin(3x)*(-9b -18a +9b) = 6*cos(3x)$
quindi:
$ (18b = 6) $ ovvero $ b=1/3 $
$ (-18a = 0 ) $ ovvero $ a=0 $
quindi
$y0 = 1/3 *sin(3x)
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