Equazioni differenziali lineari di ordine n

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Supponiamo di avere un'equazione differenziale lineare di ordine $n$ generica:
$y^(n)+a_(n-1)(x)y^(n-1)+...+a_0(x)y=g(x)$
tale che i coefficienti $a_i(x)$ e la funzione $g(x)$ siano continui.

Innanzitutto, essendo l'equazione lineare, si studia prima il caso dell'equazione omogenea associata:
$y^(n)+a_(n-1)(x)y^(n-1)+...+a_0(x)y=0$

supponiamo di trovare $n$ soluzioni $y_i(x)$ tali che l'integrale generale dell'omogenea associata risulti essere:
$y(x)=c_1y_1(x)+.....+c_ny_n(x)$

Ora per trovare l'integrale generale dell'equazione completa (la prima che ho scritto per intenderci) basta addizionare all'integrale generale dell'equazione omogenea associata un integrale particolare dell'equazione completa.
Non mi è chiaro come trovare quest'integrale particolare..non capisco da dove debba partire.

[gugo82]

Beh, il metodo della variazione delle costanti è stato inventato proprio per questo, no?

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"gugo82":Beh, il metodo della variazione delle costanti è stato inventato proprio per questo, no?

se ho ben capito dovrebbe funzionare così: considero l'omogenea associata alla mia equazione differenziale, trovo le radici e quindi l'integrale generale dell'omogenea associata.
poi considero una funzione $Phi(x)=b_0+b_1x+...+b_mx^m$ dove il grado dipende dal grado della mia $g(x)$ e la sostituisco nell'equazione iniziale (calcolandomi anche le varie derivate)
poi imposto il sistema per trovare il valore dei $b_i$ e sostituendo i valori trovati ottengo la mia $Phi(x)$

fatto questo sommo all'integrale generale dell'omogenea associata la mia $Phi(x)$ e ho concluso.
giusto?

E alla fin fine il wronskiano mi serve solo per vedere se le soluzioni dell'omogenea associata sono o meno linearmente indipendenti. o sbaglio?