Equazioni differenziali lineari di ordine k
Sul mio libro di analisi 2 viene introdotto, per dimostrare le proprietà di un'equazione differenziale lineare (omogenea e non), una certa applicazione lineare $L$, che associa ad una funzione $y$ appartenente allo spazio delle funzioni derivabili $k$ volte, l'equazione lineare di cui è soluzione, ovvero:
$L(y)(x)=y^(k)+a_1(x)y^((k-1))+a_2(x)y^((k-2))+...+a_k(x)y=b(x)$.
Nessun dubbio sulla sua linearità e sul suo interesse dal punto di vista dimostrativo, quello che non capisco è invece il perchè questa applicazione venga più volte chiamata operatore dall'autore! In algebra mi hanno detto che per quanto mi riguarda ora un operatore non è altro che un endomorfismo, cosa che non mi sembra essere questo fantomatico $L$, che manda elementi dallo spazio delle funzioni $k$ volte derivabili, in funzioni di cui ho accertata solo la continuità ($b(x)$, il termine noto dell'equazione lineare).
Ringrazio in anticipo chiunque sappia chiarire questo dubbio!
$L(y)(x)=y^(k)+a_1(x)y^((k-1))+a_2(x)y^((k-2))+...+a_k(x)y=b(x)$.
Nessun dubbio sulla sua linearità e sul suo interesse dal punto di vista dimostrativo, quello che non capisco è invece il perchè questa applicazione venga più volte chiamata operatore dall'autore! In algebra mi hanno detto che per quanto mi riguarda ora un operatore non è altro che un endomorfismo, cosa che non mi sembra essere questo fantomatico $L$, che manda elementi dallo spazio delle funzioni $k$ volte derivabili, in funzioni di cui ho accertata solo la continuità ($b(x)$, il termine noto dell'equazione lineare).
Ringrazio in anticipo chiunque sappia chiarire questo dubbio!
Risposte
Un operatore è, in generale, qualcosa che agisce su uno spazio (di funzioni o altro) e restituisce valori in un latro spazio. L'operatore lineare di derivazione [tex]$L_n=\sum_{k=0}^n a_k\frac{d^k}{dx^k}$[/tex] è, in questo senso, un operatore che agisce al modo seguente
[tex]$L_n:C^n(\mathbb{R})\longrightarrow C^0(\mathbb{R})$[/tex]
Dovresti sapere che, in generale, lo spazio delle funzioni di classe $k$ su [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (o su un insieme compatto) è uno spazio vettoriale con somma e prodotto per uno scalare definiti al modo seguente
[tex]$(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (\lambda\cdot f)(x)=\lambda\cdot f(x),\qquad \forall\ f,g\in C^n(\mathbb{R}),\ \lambda\in\mathbb{R}$[/tex]
Ecco spiegato l'arcano.
[tex]$L_n:C^n(\mathbb{R})\longrightarrow C^0(\mathbb{R})$[/tex]
Dovresti sapere che, in generale, lo spazio delle funzioni di classe $k$ su [tex]$\mathbb{R}$[/tex] (o su un insieme compatto) è uno spazio vettoriale con somma e prodotto per uno scalare definiti al modo seguente
[tex]$(f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (\lambda\cdot f)(x)=\lambda\cdot f(x),\qquad \forall\ f,g\in C^n(\mathbb{R}),\ \lambda\in\mathbb{R}$[/tex]
Ecco spiegato l'arcano.
Insomma non è vero che operatore è sempre sinonimo di endomorfismo?
Bé, in generale una applicazione lineare è definita tra due spazi vettoriali che a priori possono essere diversi. E quindi è solo un omomorfismo.
Ma questo lo so, il mio dubbio è proprio sul termine operatore, che tra i miei appunti di algebra trovo praticamente definito come endomorfismo!
E perché dovrebbe essere necessariamente un endomorfismo? Un operatore lineare è una applicazione lineare. Punto. Se poi gli spazi coincidono, allora è un endomorfismo.
Se è così nessun problema, ma, giusto per farti capire da dove arrivino i miei dubbi, leggi le prime cinque righe di queste note: http://www.mat.unimi.it/users/colombo/fisica/dispensa2011/capitolo_5.pdf
Sì anche sul Sernesi mi sembra sia così, ma non lasciarti scandalizzare dal fatto che in ambiti diversi venga usato lo stesso nome per cose diverse!
Quella definizione non esclude che possa chiamarsi operatore lineare anche un'applicazione lineare tra spazi diversi.
"speculor":
Quella definizione non esclude che possa chiamarsi operatore lineare anche un'applicazione lineare tra spazi diversi.
Mi sembra un po' forzato dire così, quella definizione dice proprio "operatore è sinonimo di endomorfismo".
IMHO, è infelicissima la definizione riportata sulle dispense.
In Analisi usualmente un operatore è un'applicazione (anche non lineare) tra due spazi vettoriali, distinti oppure uguali, aventi anche qualche altro tipo di struttura (spazio vettoriale normato, spazio vettoriale prehilbertiano, spazio vettoriale topologico, ...).
Il termine endomorfismo è riservato ad applicazioni lineari di uno spazio vettoriale in sé.
Quindi, tutti gli endomorfismi rientrano nella categoria più generale degli operatori; ma non vale il viceversa.
In Analisi usualmente un operatore è un'applicazione (anche non lineare) tra due spazi vettoriali, distinti oppure uguali, aventi anche qualche altro tipo di struttura (spazio vettoriale normato, spazio vettoriale prehilbertiano, spazio vettoriale topologico, ...).
Il termine endomorfismo è riservato ad applicazioni lineari di uno spazio vettoriale in sé.
Quindi, tutti gli endomorfismi rientrano nella categoria più generale degli operatori; ma non vale il viceversa.
Gugo mi ha preceduto, in ogni caso sono anche io del parere che quella definizione sia piuttosto infelice. Come dicevo all'inizio un operatore è un qualcosa che manda elementi di uno spazio in un altro (in questo senso, è sinonimo di "applicazione") per cui definire come operatore la sola classe degli endomorfismi è effettivamente esagerato. E' come dire che le funzioni sono solo quelle biettive, per fare un paragone.
Capito, grazie a tutti per il chiarimento!
Secondo me state facendo un po' gli analisti snob 
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In tre libri che possiedo di geometria / algebra lineare (Abate, Lang, Sernesi), tutti e tre sono d'accordo nel chiamare "operatore" solo gli endomorfismi (con la precisazione che l'Abate specifica "operatore lineare", di cui in questo contesto "operatore" è abbreviazione, anche secondo Wikipedia). Quindi chiamarla "definizone infelice" secondo me non è troppo appropriato! In ogni caso non mi era mai sembrato un problema così grande.
. In tre libri che possiedo di geometria / algebra lineare (Abate, Lang, Sernesi), tutti e tre sono d'accordo nel chiamare "operatore" solo gli endomorfismi (con la precisazione che l'Abate specifica "operatore lineare", di cui in questo contesto "operatore" è abbreviazione, anche secondo Wikipedia). Quindi chiamarla "definizone infelice" secondo me non è troppo appropriato! In ogni caso non mi era mai sembrato un problema così grande.
@yellow: Non si tratta di snobbismo, ma è proprio una necessità pratica.
Come dovremmo noi poveri analisti chiamare, ad esempio, quello che usualmente chiamiamo operatore di Laplace, i.e. [tex]\Delta :=\sum_{n=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}[/tex], che manda funzioni di [tex]$C^2$[/tex] in [tex]$C^0$[/tex]?
Secondo la definizione riportata nelle dispense, questo non è un operatore... Quindi, come lo chiamo?
In altre parole, è proprio nella teoria delle equazioni differenziali che si vede la netta inutilità della restrizione nella definizione di operatore riportata nelle dispense; inutilità acuita dal fatto che sinonimi di "operatore", quali "applicazione", "funzione" o "trasformazione", vengono già usati per denotare altri oggetti e quindi sono proibiti.
Come dovremmo noi poveri analisti chiamare, ad esempio, quello che usualmente chiamiamo operatore di Laplace, i.e. [tex]\Delta :=\sum_{n=1}^N\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}[/tex], che manda funzioni di [tex]$C^2$[/tex] in [tex]$C^0$[/tex]?
Secondo la definizione riportata nelle dispense, questo non è un operatore... Quindi, come lo chiamo?
In altre parole, è proprio nella teoria delle equazioni differenziali che si vede la netta inutilità della restrizione nella definizione di operatore riportata nelle dispense; inutilità acuita dal fatto che sinonimi di "operatore", quali "applicazione", "funzione" o "trasformazione", vengono già usati per denotare altri oggetti e quindi sono proibiti.
Non volevo certo dire che il modo in cui sia usa in analisi sia scorretto, ma che l'importante è capire il contesto. E poi appunto non mi sembrava un'ambiguità tra le più tremende, tanto più che il modo in cui si usa in analisi mi sembra sia abbastanza informale (è un sinonimo di "applicazione" che viene comodo in certe situazioni, più che un concetto che viene definito precisamente, o sbaglio?). Quest'anno ho incontrato differenze ben più fuorvianti tra il corso di Analisi II e quello di Geometria!
Io sono d'accordo con yellow. In algebra lineare si usa chiamare "operatori" gli endomorfismi lineari, quindi se si usa... Tanto dal contesto è chiaro di che si tratta. Certo, uno agli inizi si confonde. Ma ce ne sono tante di maniere per confondersi, quindi una più, una meno...
Comunque la verità è che vorrei sentirmi anch'io un analista snob, ma questo semestre senza analisi mi sta pian piano inquinando la mente 
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