Equazioni Differenziali lineari con coefficenti non costanti
data un equazione in questa forma
$y(x)+a(x)y'(x)=f(x)$
è possibile sempre risolverla attraverso questa formula?
$y(x)=e^(-A(x))*int_()^()e^(A(x))*f(x)dx$
ad esempio questa: $y'(x)=-2y(x)+8/(e^(2x)(x^2-6x-7))$
$y(x)+a(x)y'(x)=f(x)$
è possibile sempre risolverla attraverso questa formula?
$y(x)=e^(-A(x))*int_()^()e^(A(x))*f(x)dx$
ad esempio questa: $y'(x)=-2y(x)+8/(e^(2x)(x^2-6x-7))$
Risposte
Attenzione: nella prima formula hai scritto $y+ay'=f$. Questa equazione differenziale non è in forma normale e può facilmente farti scherzi strani in corrispondenza dei punti in cui $a$ si annulla. Molto probabilmente intendevi
$y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$, dove $a, f$ sono funzioni continue (anche questo è abbastanza importante).
In questo caso la risposta alla tua domanda è sì. Io però non mi sforzerei di ricordare quella formula, che difatti dimentico sempre. Invece mi ricorderei il metodo che è piuttosto facile e torna utile anche in altre occasioni: in gergo si dice che si moltiplica per un fattore integrante.
Precisamente l'obiettivo è modificare il termine $y'(x)+a(x)y(x)$ perché diventi la derivata di una funzione nota. A questo scopo, detta $A(x)$ una primitiva di $a(x)$, moltiplica ambo i membri per $e^{A(x)}$, che non si annulla mai e quindi trasforma l'equazione in una ad essa equivalente:
$e^{A(x)}y'(x)+e^{A(x)}a(x)y(x)=e^{A(x)}f(x)$;
ora osserviamo che il membro sinistro dell'equazione è la derivata di $e^{A(x)}y(x)$, quindi l'equazione stessa è
$d/(dx)(e^{A(x)}y(x))=e^{A(x)}f(x)$;
e a questo punto è chiaro come risolvere, integrando membro a membro.
Personalmente trovo più semplice applicare ogni volta questi passaggi anziché ricordarmi la formula a memoria.
$y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$, dove $a, f$ sono funzioni continue (anche questo è abbastanza importante).
In questo caso la risposta alla tua domanda è sì. Io però non mi sforzerei di ricordare quella formula, che difatti dimentico sempre. Invece mi ricorderei il metodo che è piuttosto facile e torna utile anche in altre occasioni: in gergo si dice che si moltiplica per un fattore integrante.
Precisamente l'obiettivo è modificare il termine $y'(x)+a(x)y(x)$ perché diventi la derivata di una funzione nota. A questo scopo, detta $A(x)$ una primitiva di $a(x)$, moltiplica ambo i membri per $e^{A(x)}$, che non si annulla mai e quindi trasforma l'equazione in una ad essa equivalente:
$e^{A(x)}y'(x)+e^{A(x)}a(x)y(x)=e^{A(x)}f(x)$;
ora osserviamo che il membro sinistro dell'equazione è la derivata di $e^{A(x)}y(x)$, quindi l'equazione stessa è
$d/(dx)(e^{A(x)}y(x))=e^{A(x)}f(x)$;
e a questo punto è chiaro come risolvere, integrando membro a membro.
Personalmente trovo più semplice applicare ogni volta questi passaggi anziché ricordarmi la formula a memoria.
OUT OF SELF:
Riporto tale affermazione per generalizzarla ad ogni formula standard della matematica, la quale uno qualunque non ricorda, per consigliare vivamente di procedere così per "usarle".
Scusate l'intrusione!
"dissonance":
...Personalmente trovo più semplice applicare ogni volta questi passaggi anziché ricordarmi la formula a memoria.
Riporto tale affermazione per generalizzarla ad ogni formula standard della matematica, la quale uno qualunque non ricorda, per consigliare vivamente di procedere così per "usarle".
Scusate l'intrusione!
ok quindi
$y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$
$y'(x)+2y(x)=8/(e^(2x)(x^2-6x-7))$
dove $a(x)=2;$
$int_()^()(2)dx=2x$
applico la formula,
$y(x)=1/(e^(2x))*int_()^()e^(2x)*8/(e^(2x)(x^2-6x-7))dx$
fin qui ho sbagliato qualcosa?
$y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$
$y'(x)+2y(x)=8/(e^(2x)(x^2-6x-7))$
dove $a(x)=2;$
$int_()^()(2)dx=2x$
applico la formula,
$y(x)=1/(e^(2x))*int_()^()e^(2x)*8/(e^(2x)(x^2-6x-7))dx$
fin qui ho sbagliato qualcosa?
up
"BHK":No, no, è giusto, vai avanti. Ma, ripeto, cerca di non "applicare la formula" a memoria, fai invece i vari passaggi, come consiglia anche j18eos.
[...]applico la formula,[...]
fin qui ho sbagliato qualcosa?
termino il calcolo
$y(x)=e^(-2x)*int_()^()8/(x^2-6x-7)$
$y(x)=e^(-2x)*(-log(x+1)+log(x-7))
se non applico la formula ma solo i passaggi, ottengo un risultato scritto in una forma meno complessa?
$y(x)=e^(-2x)*int_()^()8/(x^2-6x-7)$
$y(x)=e^(-2x)*(-log(x+1)+log(x-7))
se non applico la formula ma solo i passaggi, ottengo un risultato scritto in una forma meno complessa?
up
"BHK":Ma no. E' chiaro che il risultato è lo stesso. Inoltre attenzione: ti sei scordato la costante in tutti gli integrali indefiniti. Ricordati che l'integrale generale di una E.D.O. lineare del primo ordine dipende linearmente da un parametro.
se non applico la formula ma solo i passaggi, ottengo un risultato scritto in una forma meno complessa?
$y(x)=e^(-2x)*(-log(x+1)+log(x-7)+c)$
ora dovrebbe essere giusto
ora dovrebbe essere giusto
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