Equazioni differenziali lineari
Salve a tutti
Nel corso delle mie esercitazioni mi sono imbattuto in equazioni differenziali non omogenee di cui non conosco un metodo per la loro risoluzione:
$y''-y=1/(1+e^x)$ (in un problema di Cauchy con condizioni iniziali $ y(0)=0;y'(0)=0$)
e soprattutto
$y''+y=tanx$ (in un PdC con condizioni $y(0)=0; y'(0)=1$)
Qualcuno puo aiutarmi per entrambe?
Grazie in anticipo.
Nel corso delle mie esercitazioni mi sono imbattuto in equazioni differenziali non omogenee di cui non conosco un metodo per la loro risoluzione:
$y''-y=1/(1+e^x)$ (in un problema di Cauchy con condizioni iniziali $ y(0)=0;y'(0)=0$)
e soprattutto
$y''+y=tanx$ (in un PdC con condizioni $y(0)=0; y'(0)=1$)
Qualcuno puo aiutarmi per entrambe?
Grazie in anticipo.
Risposte
Suppongo tu sappia come calcolare la soluzione dell'omogenea, per cui credo il problema stia nel calcolo della soluzione particolare, dico bene? Il metodo da usare è quello della variazione delle costanti. Mai sentito?
No 
Potresti dirmi dove vedere per bene questo metodo?
Io conosco il metodo in cui il termine noto si presenta in tre casi diversi:
1)funzione del tipo $ s(x) . e^(\alpha x)$ con s(x) polinomio di grado n
2)Polinomio semplice di grado n
3)funzione del tipo $h sin (\beta x)+ k cos(\beta x)$
Potresti dirmi dove vedere per bene questo metodo?Io conosco il metodo in cui il termine noto si presenta in tre casi diversi:
1)funzione del tipo $ s(x) . e^(\alpha x)$ con s(x) polinomio di grado n
2)Polinomio semplice di grado n
3)funzione del tipo $h sin (\beta x)+ k cos(\beta x)$
Guarda, l'idea è abbastanza semplice. Cerco di spiegartela in breve, in ogni caso puoi guardare qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_del ... ndo_ordine
ora, data una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea, $y''+a y'+by=r(x)$, supponiamo tu abbia determinato la soluzione dell'omogenea $y(x)=C_1 u_1(x)+C_2 u_2(x)$, dove $u_1,\ u_2$ sono le due soluzioni che vengono fuori dal calcolo delle radici del polinomio $t^2+at+b=0$.
Il metodo consiste nel supporre che la soluzione particolare abbia la forma seguente
$$y_p(x)=C_1(x) u_1(x)+C_2(x) u_2(x)$$
Andando a derivare e sostituire nell'equazione, ciò che si trova è che le funzioni $C_1,\ C_2$ debbano soddisfare il seguente sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
C'_1(x)\cdot u_1(x)+C_2'(x)\cdot u_2(x)=0\\ C'_1(x)\cdot u_1'(x)+C'_2(x)\cdot u'_2(x)=r(x)
\end{array}\right.$$
Si dimostra che tale sistema ammette sempre soluzione unica in quanto il determinante della matrice dei coefficienti
$$W=\det\left(\begin{array}{cc}
u_1 & u_2\\ u_1' & u_2'
\end{array}\right)=u_1 u_2'-u_2 u_1'$$
risulta sempre diverso da zero. Si trova allora che
$$C_1'=-\frac{r\cdot u_2}{W},\qquad C_2'=\frac{u_1 r}{W}$$
da cui integrando le funzioni $C_1,\ C_2$, che poi vanno sostituite nell'espressione di $y_p$. Pertanto
$$y_p(x)=-u_1(x)\cdot\int\frac{u_2(x)\cdot r(x)}{W(x)}\ dx+u_2(x)\cdot\int\frac{u_1(x)\cdot r(x)}{W(x)}\ dx$$
Una volta scritta la soluzione completa
$$y(x)=C_1 u_1(x)+C_2 u_2(x)+y_p(x)$$
puoi procedere nel determinare la soluzione del problema di Cauchy come sempre (qui $C_1,\ C_2$ sono le costanti arbitrarie, non le funzioni di prima).
ora, data una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea, $y''+a y'+by=r(x)$, supponiamo tu abbia determinato la soluzione dell'omogenea $y(x)=C_1 u_1(x)+C_2 u_2(x)$, dove $u_1,\ u_2$ sono le due soluzioni che vengono fuori dal calcolo delle radici del polinomio $t^2+at+b=0$.
Il metodo consiste nel supporre che la soluzione particolare abbia la forma seguente
$$y_p(x)=C_1(x) u_1(x)+C_2(x) u_2(x)$$
Andando a derivare e sostituire nell'equazione, ciò che si trova è che le funzioni $C_1,\ C_2$ debbano soddisfare il seguente sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
C'_1(x)\cdot u_1(x)+C_2'(x)\cdot u_2(x)=0\\ C'_1(x)\cdot u_1'(x)+C'_2(x)\cdot u'_2(x)=r(x)
\end{array}\right.$$
Si dimostra che tale sistema ammette sempre soluzione unica in quanto il determinante della matrice dei coefficienti
$$W=\det\left(\begin{array}{cc}
u_1 & u_2\\ u_1' & u_2'
\end{array}\right)=u_1 u_2'-u_2 u_1'$$
risulta sempre diverso da zero. Si trova allora che
$$C_1'=-\frac{r\cdot u_2}{W},\qquad C_2'=\frac{u_1 r}{W}$$
da cui integrando le funzioni $C_1,\ C_2$, che poi vanno sostituite nell'espressione di $y_p$. Pertanto
$$y_p(x)=-u_1(x)\cdot\int\frac{u_2(x)\cdot r(x)}{W(x)}\ dx+u_2(x)\cdot\int\frac{u_1(x)\cdot r(x)}{W(x)}\ dx$$
Una volta scritta la soluzione completa
$$y(x)=C_1 u_1(x)+C_2 u_2(x)+y_p(x)$$
puoi procedere nel determinare la soluzione del problema di Cauchy come sempre (qui $C_1,\ C_2$ sono le costanti arbitrarie, non le funzioni di prima).
Sei stato chiarissimo, ti ringrazio 
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