Equazioni differenziali HELP!
scusate ragazzi sono alle prese con questi problemi, ho incongruenza con i risultati datomi dal prof e i miei, solo che non avendo riscontri con eventuale svolgimento penso di sbagliare io qualcosa e vorrei che qualcuno mi spiegasse cosa:
1) y'= $ (2x+y+1)^(2) $
y(0)= $ sqrt(2) $ -1
risultato del prof: $ -2x-1+sqrt(2)tg(sqrt(2)x+pi/4) $
a me invece operando la sostituzione 2x+1=u e da questa ricavarmi prima y e poi y', riscrivo l'equazione, effettuo i vari passaggi e mi riconduco ad una a variabili separabili viene:
$ int_()^() <(du)/(u+1)^2=int_()^() <2dx> > $
da cui ottengo il seguente risultato ricavandomi da u la y!
$ -2x-1-1/(2x+sqrt(2)-2) $
2) y'= $ e^(x-y)cos(x) $ effettuando sempre la sostituzione x-y=u e procedendo a separare le variabili...
il mio risultato è:
$ int_()^() (du)/e^u=int_()^() (1-cos(x))dx $
y= $ x+ln(x+sin(x)-k) $
mentre al prof: y= $ x+ln(cos(x)sin(x)/2+ke^(-x)) $
1) y'= $ (2x+y+1)^(2) $
y(0)= $ sqrt(2) $ -1
risultato del prof: $ -2x-1+sqrt(2)tg(sqrt(2)x+pi/4) $
a me invece operando la sostituzione 2x+1=u e da questa ricavarmi prima y e poi y', riscrivo l'equazione, effettuo i vari passaggi e mi riconduco ad una a variabili separabili viene:
$ int_()^() <(du)/(u+1)^2=int_()^() <2dx> > $
da cui ottengo il seguente risultato ricavandomi da u la y!
$ -2x-1-1/(2x+sqrt(2)-2) $
2) y'= $ e^(x-y)cos(x) $ effettuando sempre la sostituzione x-y=u e procedendo a separare le variabili...
il mio risultato è:
$ int_()^() (du)/e^u=int_()^() (1-cos(x))dx $
y= $ x+ln(x+sin(x)-k) $
mentre al prof: y= $ x+ln(cos(x)sin(x)/2+ke^(-x)) $
Risposte
1) Perché poni [tex]$2x+1=u$[/tex]? Molto meglio porre [tex]$z(x)=2x+1+y(x)$[/tex] da cui [tex]$y(x)=z(x)-2x-1$[/tex] e quindi [tex]$y'=z'-2$[/tex] che ti permette di scrivere l'equazione come [tex]$z'-2=z^2$[/tex] la quale è a variabili separabili.
2) se poni [tex]$x-y(x)=u(x)$[/tex] allora [tex]$y(x)=x-u(x)$[/tex] e quindi [tex]y'=1-u'$[/tex]. L'equazione diventa pertanto [tex]$1-u'=e^u\cos x$[/tex] che non è a variabili separabili e che quindi non puoi integrare come hai fatto. Senza fare nessuna sostituzione, invece, puoi scrivere l'equazione come [tex]$e^y y'=e^x\cos x$[/tex] e questa è a variabili separabili.
2) se poni [tex]$x-y(x)=u(x)$[/tex] allora [tex]$y(x)=x-u(x)$[/tex] e quindi [tex]y'=1-u'$[/tex]. L'equazione diventa pertanto [tex]$1-u'=e^u\cos x$[/tex] che non è a variabili separabili e che quindi non puoi integrare come hai fatto. Senza fare nessuna sostituzione, invece, puoi scrivere l'equazione come [tex]$e^y y'=e^x\cos x$[/tex] e questa è a variabili separabili.
grazie mille per gli utili consigli, tutto risolto i risultati sono ok =)
Scusatemi ancora ma continuo a non capire una cosa, la costante d'integrazione e il suo segno!
Essendo arbitraria posso mettere qualunque segno a meno che, mi sembra di aver capito dsagli esercizi non si abbia un prob di cauchy che allora il segno della costante è determinato dalla condizione iniziale.
Ma nel caso generico?quale criterio mi dice se mettere +K o -K?
Io di solito metto più K a volte però nelle soluzioni mi ritrovo -K ma non ne capisco il motivo!
Oppure ad es una soluzione ove comparivano i logaritmi il prof ha scritto giustamente che K=log(K) per così poterla integrare nella soluzione che era log(x) ed avere così log(xK), ma per quale motivo?facilità di scrittura?
Mi date anche un'idea su come risolvere questa:
$ y'=y/(x+y) $
ho provato a sostituire $ x+y=u $ ma non ottengo nulla ed anche a sostituire $ u=y/(x+y) $ ma anche qui senza grandi risultati...
Essendo arbitraria posso mettere qualunque segno a meno che, mi sembra di aver capito dsagli esercizi non si abbia un prob di cauchy che allora il segno della costante è determinato dalla condizione iniziale.
Ma nel caso generico?quale criterio mi dice se mettere +K o -K?
Io di solito metto più K a volte però nelle soluzioni mi ritrovo -K ma non ne capisco il motivo!
Oppure ad es una soluzione ove comparivano i logaritmi il prof ha scritto giustamente che K=log(K) per così poterla integrare nella soluzione che era log(x) ed avere così log(xK), ma per quale motivo?facilità di scrittura?
Mi date anche un'idea su come risolvere questa:
$ y'=y/(x+y) $
ho provato a sostituire $ x+y=u $ ma non ottengo nulla ed anche a sostituire $ u=y/(x+y) $ ma anche qui senza grandi risultati...
L'ultima EDO che scrivi è del tipo "a secondo membro omogeneo", perchè la funzione [tex]$f(x,y):=\tfrac{y}{x+y}$[/tex] è omogenea di grado [tex]$0$[/tex]*.
In questi casi la EDO si riconduce ad una EDO a variabili separabili facendo la sostituzione [tex]$y(x)=x\ u(x)$[/tex].
__________
* Ricorda che una funzione [tex]$f(x,y)$[/tex] si dice omogenea di grado [tex]$\alpha$[/tex] se per [tex]$\lambda >0$[/tex] risulta [tex]$f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^\alpha\ f(x,y)$[/tex].
La condizione di omogeneità significa che [tex]$f(x,y)$[/tex] si comporta come una potenza su ogni semiretta uscente dall'origine.
In questi casi la EDO si riconduce ad una EDO a variabili separabili facendo la sostituzione [tex]$y(x)=x\ u(x)$[/tex].
__________
* Ricorda che una funzione [tex]$f(x,y)$[/tex] si dice omogenea di grado [tex]$\alpha$[/tex] se per [tex]$\lambda >0$[/tex] risulta [tex]$f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^\alpha\ f(x,y)$[/tex].
La condizione di omogeneità significa che [tex]$f(x,y)$[/tex] si comporta come una potenza su ogni semiretta uscente dall'origine.
sto provando la sostituzione da te suggerita ma non riesco a separare le variabili.
ponendo:
$ y=u(x)x $
$ y'=u'x+u $
la edo quindi diventa:
$ u'x+u= u/(1+u) $
arrivato a questo punto però non riesco a separare le variabili, ho provato anche a svolgere il minimo comune multiplo ma nada...
Sabglio qualcosa oppure sono cieco?
ponendo:
$ y=u(x)x $
$ y'=u'x+u $
la edo quindi diventa:
$ u'x+u= u/(1+u) $
arrivato a questo punto però non riesco a separare le variabili, ho provato anche a svolgere il minimo comune multiplo ma nada...
Sabglio qualcosa oppure sono cieco?
Provato a portare [tex]$u$[/tex] a secondo membro? 
grazie mille 
L'unica cosa che non avevo fatto seppur banale!
L'unica cosa che non avevo fatto seppur banale!
Prego.
Ah, ti ricordo che, usando questa sostituzione, è sempre molto probabile che non sia possibile riuscire ad esplicitare [tex]$y(x)$[/tex]... Insomma, il più delle volte rimarrai con un integrale generale scritto in forma implicita.
Ah, ti ricordo che, usando questa sostituzione, è sempre molto probabile che non sia possibile riuscire ad esplicitare [tex]$y(x)$[/tex]... Insomma, il più delle volte rimarrai con un integrale generale scritto in forma implicita.
quando ho un problema di cauchy del tipo:
$y''-9y=-2sinh(3x) $
con relative condizioni iniziali:
"y(0)=0 $
$y'(0)=5/3 $
la soluzione particolare cercata è del tipo $ (A cosh(x) - B senh(x)) $ ???
Se no di che forma la cerco?
$y''-9y=-2sinh(3x) $
con relative condizioni iniziali:
"y(0)=0 $
$y'(0)=5/3 $
la soluzione particolare cercata è del tipo $ (A cosh(x) - B senh(x)) $ ???
Se no di che forma la cerco?
Se il termine noto è della forma [tex]$A\cosh(ax)+B\sinh(ax)$[/tex] allora devi cercare una soluzione particolare dello stesso tipo. Nel tuo caso manca un 3 come argomento della funzione seno iperbolico.
grazie mille!
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