Equazioni differenziali fino al 2 ordine a coefficienti costanti
Allora premetto che noi le equazioni differenziali le abbiamo trattate parzialmente a fine corso di analisi 1 fino a quelle del 2°ordine a coeff. costanti (senza approfondire ma solo vedendo i metodi di risoluzione). Ho qualche dubbio su questo:
determinare, se esistono i valori di k per cui il problema di Cauchy
$y''+ky=0, y(pi/2)=y(-pi/2)=0$ ammette soluzioni non identicamente nulle.
Io ho fatto così:
il determinante del polinomio caratteristico è $-4k$ e quindi ho suddiviso in 3 casi:
se $k <0$ ho $2$ sol. reali distinte e quindi trovo che $y(x)= c_1e^((sqrtk)*x)+c_2e^((-sqrtk)*x)$, ho imposto le condizioni e ho trovato che le uniche soluzioni accettabili sono $c_1=c_2=0$ e quindi $y(x)=0$
se $k>0$ ho due soluzioni nel campo complesso tali che $y(x) = c_1cos(sqrtk*x)+c_2sin(sqrtk*x)$ e quindi ho trovato che l'unica soluzione accettabile del P.d.C è anche in questo caso $c_1=c_2=0$ e quindi $y(x)=0$
se $k=0$ ho che l'equazione diventa $y''=0$ e quindi $y=c_1x+c_2$ e, imponendo le condizioni trovo che l'unica soluzione è data da $c_1=c_2=0,rArr y(x)=0 $ e quindi la risposta dell'esercizio è no. Potete dirmi se Quello che ho fatto è giusto?
determinare, se esistono i valori di k per cui il problema di Cauchy
$y''+ky=0, y(pi/2)=y(-pi/2)=0$ ammette soluzioni non identicamente nulle.
Io ho fatto così:
il determinante del polinomio caratteristico è $-4k$ e quindi ho suddiviso in 3 casi:
se $k <0$ ho $2$ sol. reali distinte e quindi trovo che $y(x)= c_1e^((sqrtk)*x)+c_2e^((-sqrtk)*x)$, ho imposto le condizioni e ho trovato che le uniche soluzioni accettabili sono $c_1=c_2=0$ e quindi $y(x)=0$
se $k>0$ ho due soluzioni nel campo complesso tali che $y(x) = c_1cos(sqrtk*x)+c_2sin(sqrtk*x)$ e quindi ho trovato che l'unica soluzione accettabile del P.d.C è anche in questo caso $c_1=c_2=0$ e quindi $y(x)=0$
se $k=0$ ho che l'equazione diventa $y''=0$ e quindi $y=c_1x+c_2$ e, imponendo le condizioni trovo che l'unica soluzione è data da $c_1=c_2=0,rArr y(x)=0 $ e quindi la risposta dell'esercizio è no. Potete dirmi se Quello che ho fatto è giusto?
Risposte
Ciao SteezyMenchi,
Direi di no, perché così ad occhio, senza neanche fare troppi conti, $ y(x) = c cos x $ è una soluzione non identicamente nulla del PdC proposto con $k = 1 $
"SteezyMenchi":
Quello che ho fatto è giusto?
Direi di no, perché così ad occhio, senza neanche fare troppi conti, $ y(x) = c cos x $ è una soluzione non identicamente nulla del PdC proposto con $k = 1 $
Dopo un'ulteriore analisi ho capito di non aver considerato nel caso $k>0$ la possibilità che solo uno dei due tra $c_1, c_2$ fosse negativo. In quel modo ottengo la tua soluzione Pillo:
se $c_1!=0, c_2=0 rArr cos((-pi/2)sqrtk)=0$ e quindi $k=1$
se $c_1=0, c_2!=0 rArr sin((-pi/2)sqrtk)=0$ e quindi $k=4$
Adesso dovrebbe essere giusto credo. Grazie per avermi fatto notare l'errore. Spero di non aver fatto altri errori. Ho ricontrollato il caso in cui $k<0$ e soltanto uno dei due coefficienti tra $c_1$ e $c_2$ è nullo e anche in quel caso ottengo riottengo la soluzione nulla.
se $c_1!=0, c_2=0 rArr cos((-pi/2)sqrtk)=0$ e quindi $k=1$
se $c_1=0, c_2!=0 rArr sin((-pi/2)sqrtk)=0$ e quindi $k=4$
Adesso dovrebbe essere giusto credo. Grazie per avermi fatto notare l'errore. Spero di non aver fatto altri errori. Ho ricontrollato il caso in cui $k<0$ e soltanto uno dei due coefficienti tra $c_1$ e $c_2$ è nullo e anche in quel caso ottengo riottengo la soluzione nulla.
"SteezyMenchi":
Adesso dovrebbe essere giusto credo.
In realtà hai scritto qualche soluzione, ma non le hai scritte tutte...
Se hai trovato che la soluzione è $ y(x) = c_1 cos(sqrtk x)+c_2 sin(sqrtk x) $, dalla due condizioni $ y(pi/2)=y(-pi/2)=0 $ si ottiene il sistema seguente:
${(c_1 cos(sqrtk pi/2)+c_2 sin(sqrtk pi/2) = 0),(c_1 cos(- sqrtk pi/2) + c_2 sin(- sqrtk pi/2) = 0):} $
${(c_1 cos(sqrtk pi/2)+c_2 sin(sqrtk pi/2) = 0),(c_1 cos(sqrtk pi/2) - c_2 sin(sqrtk pi/2) = 0):} $
Sommando le due equazioni si ottiene $2 c_1 cos(sqrtk pi/2) = 0 $ che fornisce $c_1 = 0 $ (che però poi conduce alla soluzione nulla) oppure $cos(sqrtk pi/2) = 0 \implies k = (2n + 1)^2, n >= 0 $ (tu hai scritto solo la prima, quella che si ottiene per $n = 0$);
sottraendo le due equazioni si ottiene $ 2 c_2 sin(sqrtk pi/2) = 0 $ che fornisce $c_2 = 0 $ (che però poi conduce alla soluzione nulla) oppure $ sin(sqrtk pi/2) = 0 \implies k = (2n)^2, n >= 1 $ (tu hai scritto solo la prima, quella che si ottiene per $n = 1$).
No il fatto è che non riuscivo a trovare le espressioni con cui tenere in conto la periodicità delle soluzioni e perciò avevo cercato le soluzioni in un intervallo ristretto per semplicità. Grazie mille Pillo per le tue risposte
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