Equazioni differenziali, es teorico

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Sia assegnato il seguente problema di Cauchy

$\{(y'(x) = [arctanf(x)] y(x)),(y(0)=0):}$


con $f: RR -> [0, +oo[ $ funzione continua e tale che $f(0)=0$.

Provare che la soluzione è convessa in un intorno destro dell'origine e concava in un intorno sinistro dell'origine.

Come mi conviene procedere?
conviene trovare una soluzione generica?

[gugo82]

Ma solo a me sembra che, se $f$ è "buona", il problema abbia un'unica soluzione di cui si può dire tutto-tutto?

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"gugo82":Ma solo a me sembra che, se $f$ è "buona", il problema abbia un'unica soluzione di cui si può dire tutto-tutto?

In che senso?

[gugo82]

C'è una soluzione del P.d.C. che è proprio evidente... Quale?
Riesci a dimostrare che è unica?

Se lo fai, l'esercizio è una vaccata... Il che mi fa pensare che il testo sia scritto male: dove hai trovato l'esercizio?

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"gugo82":C'è una soluzione del P.d.C. che è proprio evidente... Quale?
Riesci a dimostrare che è unica?

Se lo fai, l'esercizio è una vaccata... Il che mi fa pensare che il testo sia scritto male: dove hai trovato l'esercizio?

Da un testo di esame universitario di analisi 1

[gugo82]

Mah... Vabbé, ma è una cavolata comunque.
Quel problema lì ha unica soluzione che si vede "a occhio". Quale?

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Va bè ma devo far vedere che la soluzione è convessa in un intorno destro dell'origine e concava in un intorno sinistro dell'origine. Non devo solo trovare la soluzione

[gugo82]

@Smon97:

"Smon97":Va bè ma devo far vedere che la soluzione è convessa in un intorno destro dell'origine e concava in un intorno sinistro dell'origine. Non devo solo trovare la soluzione

Scusa, ma che argomento è…

Se io di un problema so trovare la soluzione esplicita, la trovo e ci lavoro.
È quando trovare la soluzione esplicita non è possibile che devo arrangiarmi come posso.

Tanto per fare un esempio terra-terra, se ti chiedessi di dimostrare che l’equazione $2x - 1 = 0$ ha unica soluzione che giace tra $0$ ed $1$ mica ti metteresti a fare casini… Visto che la soluzione dell’equazione è $x =1/2$, basta il calcolo esplicito per rispondere alla domanda.

Cosa diversa sarebbe se ti chiedessi di dimostrare che l’equazione $x^(1273) + x - 1 = 0$ ha unica soluzione che giace tra $0$ ed $1$.
La soluzione di questa equazione non la trovi neanche con le cannonate, quindi devi mettere in campo tecniche “astratte” (il che, nel caso in esame, vuol dire: Teorema degli Zeri per dimostrare l’esistenza di una soluzione in $]0,1[$ e Criterio di Monotonia per provare l’unicità della soluzione) per risolvere il problema.

@arnett:
Nelle ipotesi poste, ossia con la continuità di $f$, si applica il Teorema di Esistenza ed Unicità in Grande per le EDO Lineari, il quale assicura che il P.d.C.:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) + a (x) y(x) = b(x)\\
y(x_0) = y_0
\end{cases}
\]
ha unica soluzione massimale definita in tutto l’insieme di definizione e continuità comune ai coefficienti $a$ e $ b$.
Come noto, in tal caso la soluzione ha una formula di rappresentazione facile, i.e.:
\[
y(x;x_0,y_0) := \mathbf{e}^{- \int_{x_0}^x a(t)\ \text{d} t }\ \left( y_0 + \int_{x_0}^x \mathbf{e}^{ \int_{x_0}^t a(\tau )\ \text{d} \tau }\ b(t)\ \text{d} t\right)
\]
Nel nostro caso $x_0 = y_0 = 0$, $a(x) = - arctan f(x)$ e $b(x) = 0$, dunque la soluzione del P.d.C. è quella identicamente nulla, i.e. $y(x;0,0) = 0$, cosa che trovavo pure “ad occhio” senza scomodare formule di rappresentazione delle soluzioni (se non mi sono note).

Per quanto riguarda il “sufficientemente buona”, osserva che la formula di rappresentazione delle soluzioni fornisce una soluzione effettiva e “sufficientemente decente” del problema[nota]Qui con “sufficientemente decente” intendo “avente la derivata prima con almeno la stessa regolarità dei coefficienti”.[/nota] non appena i coefficienti $a$ e $b$ sono, ad esempio, entrambe misurabili ed entrambe limitate, oppure una sommabile e l’altra limitata… Ma sto andando a naso.
Comunque penso che si possa essere molto più precisi di così (la teoria della regolarità per le soluzioni di EDO lineari credo sia molto classica).

Chiaramente, in generale (cioè a meno di casi indebitamente fortunati), quando i coefficienti della EDO non sono “sufficientemente regolari”, non posso sperare di derivare in senso classico la soluzione del P.d.C.: ciò è dovuto al fatto che la soluzione fornita dalla formula di rappresentazione si può derivare più di una volta solo se i coefficienti $a$ e $b$ sono (almeno) derivabili (per Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, Teorema di Derivazione della Funzione Composta e regole di derivazione).

Tuttavia, nel caso in esame, cioè EDO lineare omogenea con condizioni iniziali anch’esse omogenee, il problema non si pone: infatti, anche in ipotesi minimali sulla regolarità dei coefficienti, l’unica soluzione di un siffatto P.d.C. è la funzione identicamente nulla, che è $C^oo$.

@Smon97:
Come appena detto, l’unica soluzione del P.d.C. è la funzione identicamente nulla, $y(x;0,0) = 0$.
Tale funzione è lineare, dunque è contemporaneamente convessa e concava in tutto il suo dominio.
Dunque non hai nulla più da dimostrare.