Equazioni differenziali - è giusto?
Cortesemente mi dite se la seguente equazione l'ho svolta correttamente?
$y''-4y'+3y=x$
$y(0)=4/9$; $y'(0)=4/3$
Soluzione:
$ lambda ^2-4lambda +3=0 $
che restituisce:
$ lambda1=3$; $ lambda2=1$
la I.G.O. sarà:
$y=c1e^(3x)+c2e^x$
Il termine forzante non compare nella I.G.O.
applico il nucleo risolvente
$ | ( e^(3zeta) , e^zeta ),( e^(3x) , e^x ) |-: | ( e^(3zeta) , e^zeta ),( 3e^(3zeta) , e^zeta ) | $ $ rArr $
$ e^(3zeta+x)-e^(3x+zeta)-: e^(3zeta +zeta) -3e^(3zeta +zeta) $ $ rArr $
$ rArr ( e^(3zeta +x)-e^(3zeta))xx (-e^(-4zeta )) $
$\int_0^x (e^(3zeta +x)-e^(3zeta))xx (-e^(-4zeta ))zeta d zeta$
Svolgendo tutti i calcoli mi da come risultato:
$2xe^x+e^x$
Risultato che aggingo alla I.G.O. ottenendo
$y=c1e^(3x)+c2e^x+2xe^x+e^x$
mi calcolo quindi la derivata prima
$y'= c13e^x+c2e^x+2e^x+2xe^x+e^x$
applicando le condizioni iniziali mi ricavo il valore ci c1:
$4/9=3c1+c2+2+1$
quindi calcolo la derivata secomda:
$y''=3c1e^x+c2e^x+2e^x+2xe^x+2e^x+e^x$
applicando anche qui le condizioni iniziali mi ricavo il valore ci c2
$4/3=3c1+c2+2+2+1$
$c1=11/6$; $c2=-3/2$
ottengo infine una I.P.
$Yp=11/6e^(3x)-3/22e^x+2xe^x+e^x$
Spero di aver inserito tutti i calcoli correttamente. In ogni caso vorrei sapere se il procedimento che ho adottato è corretto o come l'avreste risolta. Grazie
$y''-4y'+3y=x$
$y(0)=4/9$; $y'(0)=4/3$
Soluzione:
$ lambda ^2-4lambda +3=0 $
che restituisce:
$ lambda1=3$; $ lambda2=1$
la I.G.O. sarà:
$y=c1e^(3x)+c2e^x$
Il termine forzante non compare nella I.G.O.
applico il nucleo risolvente
$ | ( e^(3zeta) , e^zeta ),( e^(3x) , e^x ) |-: | ( e^(3zeta) , e^zeta ),( 3e^(3zeta) , e^zeta ) | $ $ rArr $
$ e^(3zeta+x)-e^(3x+zeta)-: e^(3zeta +zeta) -3e^(3zeta +zeta) $ $ rArr $
$ rArr ( e^(3zeta +x)-e^(3zeta))xx (-e^(-4zeta )) $
$\int_0^x (e^(3zeta +x)-e^(3zeta))xx (-e^(-4zeta ))zeta d zeta$
Svolgendo tutti i calcoli mi da come risultato:
$2xe^x+e^x$
Risultato che aggingo alla I.G.O. ottenendo
$y=c1e^(3x)+c2e^x+2xe^x+e^x$
mi calcolo quindi la derivata prima
$y'= c13e^x+c2e^x+2e^x+2xe^x+e^x$
applicando le condizioni iniziali mi ricavo il valore ci c1:
$4/9=3c1+c2+2+1$
quindi calcolo la derivata secomda:
$y''=3c1e^x+c2e^x+2e^x+2xe^x+2e^x+e^x$
applicando anche qui le condizioni iniziali mi ricavo il valore ci c2
$4/3=3c1+c2+2+2+1$
$c1=11/6$; $c2=-3/2$
ottengo infine una I.P.
$Yp=11/6e^(3x)-3/22e^x+2xe^x+e^x$
Spero di aver inserito tutti i calcoli correttamente. In ogni caso vorrei sapere se il procedimento che ho adottato è corretto o come l'avreste risolta. Grazie
Risposte
Ciao mariagiusepi 
Dando un' occhiata alla soluzione che hai scritto mi viene subito un dubbio riguardo alla soluzione finale:
$ Y_p=11/6e^(3x)-3/2e^x+2xe^x+e^x $
perchè dalle condizioni iniziali risulta che $ y(0)=4/9 $ però se nella tua soluzione si pone $ x=0 $ a me torna (a meno di errori di calcolo ) $ y=4/3 $
Ho provato a risolvere l'equazione con il metodo che uso io e a me torna:
$ Y=-1/2e^x+1/2e^(3x)+4/9+1/3x $
Ora non ho tempo di scriverti il procedimento...però se vuoi dopo ti dico come a fatto.Fammi sapere!
Ciao!
Dando un' occhiata alla soluzione che hai scritto mi viene subito un dubbio riguardo alla soluzione finale:
$ Y_p=11/6e^(3x)-3/2e^x+2xe^x+e^x $
perchè dalle condizioni iniziali risulta che $ y(0)=4/9 $ però se nella tua soluzione si pone $ x=0 $ a me torna (a meno di errori di calcolo
) $ y=4/3 $Ho provato a risolvere l'equazione con il metodo che uso io e a me torna:
$ Y=-1/2e^x+1/2e^(3x)+4/9+1/3x $
Ora non ho tempo di scriverti il procedimento...però se vuoi dopo ti dico come a fatto.Fammi sapere!
Ciao!
Non so come venga fuori il termine in \(xe^x\), dato che questo non può proprio comparire per motivi legati alla EDO.
Infatti, un termine del genere comparirebbe nell'integrale particolare solo se il numero complesso individuato dal termine noto, i.e. \(0\), fosse una radice semplice dell'equazione caratteristica associata alla EDO; ma ciò non si verifica affatto nel caso in esame.
Senza fare troppi contazzi, si vede che l'integrale generale della EDO completa è del tipo \(\bar{y}(x):=Ax+B\).
Le costanti si determinano andando a sostituire nell'equazione: dato che \(\bar{y}^\prime (x)=A\) e \(\bar{y}^{\prime \prime} (x)=0\), la \(\bar{y}\) è soluzione della EDO completa solo se:
\[
-4A+3Ax+3B=x \quad \Leftrightarrow \quad A=\frac{1}{3} \quad \text{e}\quad B=\frac{4}{3}\ A=\frac{4}{9}
\]
quindi l'integrale generale è:
\[
y(x;c_1,c_2):= c_1e^x + c_2e^{3x} + \frac{1}{3}\ x + \frac{4}{9}\; .
\]
Infatti, un termine del genere comparirebbe nell'integrale particolare solo se il numero complesso individuato dal termine noto, i.e. \(0\), fosse una radice semplice dell'equazione caratteristica associata alla EDO; ma ciò non si verifica affatto nel caso in esame.
Senza fare troppi contazzi, si vede che l'integrale generale della EDO completa è del tipo \(\bar{y}(x):=Ax+B\).
Le costanti si determinano andando a sostituire nell'equazione: dato che \(\bar{y}^\prime (x)=A\) e \(\bar{y}^{\prime \prime} (x)=0\), la \(\bar{y}\) è soluzione della EDO completa solo se:
\[
-4A+3Ax+3B=x \quad \Leftrightarrow \quad A=\frac{1}{3} \quad \text{e}\quad B=\frac{4}{3}\ A=\frac{4}{9}
\]
quindi l'integrale generale è:
\[
y(x;c_1,c_2):= c_1e^x + c_2e^{3x} + \frac{1}{3}\ x + \frac{4}{9}\; .
\]
Grazie Pieter Pan, ti sarei veramente grata se riuscissi ad inviarmi il resto. Ora provo a rivedere i miei conteggi.
Grazie anche a te Gugu82....provo a seguire anche il tuo consiglio, vedo se ottengo lo stesso risultato. (scusate ma stò iniziando a studiare l'argomento, toppe cose ancora mi sfuggono)....
Grazie anche a te Gugu82....provo a seguire anche il tuo consiglio, vedo se ottengo lo stesso risultato. (scusate ma stò iniziando a studiare l'argomento, toppe cose ancora mi sfuggono)....
Dimenticavo, ma secondo voi il procedimento che ho seguito è giusto o sbagliato? (scusate ancora, ma come ho premesso nell'altro messaggio, questo è per me un argomento nuovo)
Ciao mariagiusepi!
Ti scrivo i calcoli che ho eseguito. Quando ho un' equazione differenziale di questo tipo i passaggi principali sono due:
calcolo la soluzione dell'equazione omogenea associata (cosa che credo abbia fatto anche tu visto che la prima parte dell'equazione è uguale) utilizzando il polinomio caratteristico e scrivendo una combinazione lineare delle soluzioni (la parte $ c_1e^x+c_2e^(3x) $ ).
A questo punto risolvo l'equazione con il termine particolare. Questo termine assume sempre la stessa forma: $ e^(alphax)P_N(x)sen(betax) $ oppure $ e^(alphax)P_N(x)cos(betax) $ . Tu devi inizialmente rivedere il tuo termine sotto questa forma. Mi spiego meglio: se tu hai $ x $ devi considerare $ e^(0x)*x*1 $ e concentrarti su $alpha $ e $ beta $ cioè $ alpha=0 $ e $ beta=0 $ (se avessi avuto $ e^x(x^2+x)sen(3x) $ allora avresti avuto $ alpha=1 $ e $ beta=3 $). Consideri il numero complesso $ alpha+ibeta $. Guarda quante volte è soluzione del polinomio caratteristico. Se è soluzione con molteplicità $ p $ allora la soluzione è sempre del tipo: $ x^(p)e^(alphax)(Q_N(x)cos(betax)+R_N(x)sen(betax)) $ con Q_n(x) e R_N(x) polinomi generici di grado N (esempio se tu hai $ x $ come in questo caso avrai un polinomio del tipo $ Ax+B $).
A questo punto inserisci questa soluzione che hai costruito dentro l'equazione differenziale e sfrutti il principio d' identità dei polinomi per trovarti $ A $ e $ B $.
Mancano ancora $ c_1 $ e $ c_2 $. Per ricavarti queste usi le condizioni iniziali del problema cioè in questo caso metti $ 0 $ nella funzione somma della parte omogenea e di quella particolare e metti tutto $ =4/9 $ e la stessa cosa per la seconda condizione.
E' un metodo un pò lungo però dopo che ne hai fatte un discreto numero diventa meccanico
. Fammi sapere se ti è tutto chiaro o vuoi qualche chiarimento. Ciao!
Ti scrivo i calcoli che ho eseguito. Quando ho un' equazione differenziale di questo tipo i passaggi principali sono due:
calcolo la soluzione dell'equazione omogenea associata (cosa che credo abbia fatto anche tu visto che la prima parte dell'equazione è uguale) utilizzando il polinomio caratteristico e scrivendo una combinazione lineare delle soluzioni (la parte $ c_1e^x+c_2e^(3x) $ ).
A questo punto risolvo l'equazione con il termine particolare. Questo termine assume sempre la stessa forma: $ e^(alphax)P_N(x)sen(betax) $ oppure $ e^(alphax)P_N(x)cos(betax) $ . Tu devi inizialmente rivedere il tuo termine sotto questa forma. Mi spiego meglio: se tu hai $ x $ devi considerare $ e^(0x)*x*1 $ e concentrarti su $alpha $ e $ beta $ cioè $ alpha=0 $ e $ beta=0 $ (se avessi avuto $ e^x(x^2+x)sen(3x) $ allora avresti avuto $ alpha=1 $ e $ beta=3 $). Consideri il numero complesso $ alpha+ibeta $. Guarda quante volte è soluzione del polinomio caratteristico. Se è soluzione con molteplicità $ p $ allora la soluzione è sempre del tipo: $ x^(p)e^(alphax)(Q_N(x)cos(betax)+R_N(x)sen(betax)) $ con Q_n(x) e R_N(x) polinomi generici di grado N (esempio se tu hai $ x $ come in questo caso avrai un polinomio del tipo $ Ax+B $).
A questo punto inserisci questa soluzione che hai costruito dentro l'equazione differenziale e sfrutti il principio d' identità dei polinomi per trovarti $ A $ e $ B $.
Mancano ancora $ c_1 $ e $ c_2 $. Per ricavarti queste usi le condizioni iniziali del problema cioè in questo caso metti $ 0 $ nella funzione somma della parte omogenea e di quella particolare e metti tutto $ =4/9 $ e la stessa cosa per la seconda condizione.
E' un metodo un pò lungo però dopo che ne hai fatte un discreto numero diventa meccanico
. Fammi sapere se ti è tutto chiaro o vuoi qualche chiarimento. Ciao!
Ciao Piter Pan. Sei stato chiaro. Grazie
MA a questo punto mi chiedo se il metodo da me adottato, applicando il nucleo risolvente $ kappa (zeta ,x) $ , è comunque corretto? Grazie e scusa se approfitto della tua disponibilità e gentilezza....ma sono quelle sfumature che ho bisogno di risolvere...
MA a questo punto mi chiedo se il metodo da me adottato, applicando il nucleo risolvente $ kappa (zeta ,x) $ , è comunque corretto? Grazie e scusa se approfitto della tua disponibilità e gentilezza....ma sono quelle sfumature che ho bisogno di risolvere...
Ciao mariagiusepi
Mi dispiace ma mi trovi un pò impreparato sull'argomento. Sinceramente non ho mai usato il nucleo risolvente (anzi non so proprio che cosa sia
). Magari mi informerò successivamente su questa tecnica di risoluzione. Spero che qualcuno possa esserti più utile.
Ciao
Mi dispiace ma mi trovi un pò impreparato sull'argomento. Sinceramente non ho mai usato il nucleo risolvente (anzi non so proprio che cosa sia
). Magari mi informerò successivamente su questa tecnica di risoluzione. Spero che qualcuno possa esserti più utile. Ciao
Grazie P.P.
sempre gentile e puntuale nelle tue risposte. Lodevole. A presto. Buon fine settimana
sempre gentile e puntuale nelle tue risposte. Lodevole. A presto. Buon fine settimana
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