Equazioni differenziali e funzionali
Salve, ragionavo sulle equazioni differenziali e mi chiedevo:
"Se esistono le equazioni differenziali, esistono anche equazioni più semplici tra funzioni (che non coinvolgono le loro derivate)"?
Grazie e buon week-end.
"Se esistono le equazioni differenziali, esistono anche equazioni più semplici tra funzioni (che non coinvolgono le loro derivate)"?
Grazie e buon week-end.
Risposte
Certo: in genere si chiamano equazioni funzionali. Ad esempio:
$f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$
è una equazione funzionale che, se definita per ogni valore reale, ha come soluzione (unica? Sapresti dimostrarlo?) $F(x)=e^x$.
$f(x+y)=f(x)\cdot f(y)$
è una equazione funzionale che, se definita per ogni valore reale, ha come soluzione (unica? Sapresti dimostrarlo?) $F(x)=e^x$.
Ciao, grazie per la risposta. Innanzitutto ti faccio la seguente domanda.
Supponiamo di avere queste funzioni, di cui una è incognita:
a) $y=8x$;
b) $y=9x^2$;
c) ?
Mi posso chiedere: qual è l'espressione analitica di quella funzione che, moltiplicata per $2$, è uguale alla somma delle prime due funzioni?
1) Prima domanda: quella che ho formulato è un equazione funzionale giusto?
Ora, i miei dubbi stanno nelle modalità di scrittura di questa equazione funzionale. Mi spiego meglio.
Se io indico le tre funzioni con le lettere dell'alfabeto, posso scrivere la mia equazione come $a+b=2c$, che, stando a quello che ho scritto sopra, dovrebbe essere scritta come $(y=8x)+(y=9x^2)=2c$, cioè $(y=8x+9x^2)=2c$, da cui si ricava che la funzione c) è: $y=(1/2)(8x+9x^2)$ giusto?
Tuttavia mi chiedo: è equivalente scrivere quell'equazione semplicemente come $8x+9x^2=2c$ (con $c$ funzione incognita), cioè evitando di scrivere la variabile dipendente di ognuna delle funzioni?
Mi sono fatto questa domanda perchè una funzione è individuata da un'equazione e quindi, nell'impostazione di un'equazione funzionale si dovrebbe scrivere la funzione nota per intero.
Grazie mille e buona domenica.
Supponiamo di avere queste funzioni, di cui una è incognita:
a) $y=8x$;
b) $y=9x^2$;
c) ?
Mi posso chiedere: qual è l'espressione analitica di quella funzione che, moltiplicata per $2$, è uguale alla somma delle prime due funzioni?
1) Prima domanda: quella che ho formulato è un equazione funzionale giusto?
Ora, i miei dubbi stanno nelle modalità di scrittura di questa equazione funzionale. Mi spiego meglio.
Se io indico le tre funzioni con le lettere dell'alfabeto, posso scrivere la mia equazione come $a+b=2c$, che, stando a quello che ho scritto sopra, dovrebbe essere scritta come $(y=8x)+(y=9x^2)=2c$, cioè $(y=8x+9x^2)=2c$, da cui si ricava che la funzione c) è: $y=(1/2)(8x+9x^2)$ giusto?
Tuttavia mi chiedo: è equivalente scrivere quell'equazione semplicemente come $8x+9x^2=2c$ (con $c$ funzione incognita), cioè evitando di scrivere la variabile dipendente di ognuna delle funzioni?
Mi sono fatto questa domanda perchè una funzione è individuata da un'equazione e quindi, nell'impostazione di un'equazione funzionale si dovrebbe scrivere la funzione nota per intero.
Grazie mille e buona domenica.
Una funzione non è individuata da una "equazione" ma da una identità: quando scrivi $y=f(x)$ vuoi dire che i valori di $y$ si determinano, direttamente, applicando $f$ ai valori di $x$. Per quanto riguarda il resto: ovvio che la funzione cercata sia quella che hai scritto: al fine di scrivere l'equazione funzionale io direi che la scrittura migliore è la seguente: se $f_1(x)=8x,\ f_2(x)=9x^2$ determinare $f(x)$ tale che $f_1+f_2=2f$.
"ciampax":
io direi che la scrittura migliore è la seguente: se $f_1(x)=8x,\ f_2(x)=9x^2$ determinare $f(x)$ tale che $f_1+f_2=2f$.
Ok, la mia domanda è: supponiamo che conosciamo l'espressione esplicita di $f_1$, per esempio supponiamo che $f_1: f(x)=8x$.
L'equazione da risolvere può dunque essere scritta in due modi,
1) $(f(x)=8x)+f_2=2f$;
2) $8x+f_2=2f$,
che differiscono per il fatto che nel primo caso ho scritto per intero l'espressione della funzione, mentre nel secondo caso ho scritto soltanto $8x$. Mi chiedo: sono equivalenti?
Grazie.
In altre parole: se ho una funzione $f(x)=8x$ e una funzione $f(x)=13x$ e voglio sapere qual è quella funzione la cui derivata è uguale alla somma delle due funzioni, ci sono due modi equivalenti (meglio, due scritture equivalenti) per formulare il problema:
1) $(f(x)=8x)+(f(x)=13x)=(y(x))'$;
2) $21x=(y(x))'$.
Giusto?
Scusatemi per la banalità delle domande.
Più che banalità, direi inutilità... nel senso, cosa te ne fai? 
Non ho ben chiaro dove vuoi andare a parare.
Secondo me scrivere $(f(x)=8x)+f_2=2f$, a meno che tu non specifichi cosa voglia intendere mettere quella roba tra parentesi (non è una notazione standard) diventa inutile. Molto meglio scrivere direttamente, a quel punto, una certa equazione. Molto meglio $8x+f_2=2f$, la quale immediatamente ti dice che il doppio della funzione $f$ è la somma di una funzione $f_2$ e della funzione $8x$.
Non ho ben chiaro dove vuoi andare a parare.Secondo me scrivere $(f(x)=8x)+f_2=2f$, a meno che tu non specifichi cosa voglia intendere mettere quella roba tra parentesi (non è una notazione standard) diventa inutile. Molto meglio scrivere direttamente, a quel punto, una certa equazione. Molto meglio $8x+f_2=2f$, la quale immediatamente ti dice che il doppio della funzione $f$ è la somma di una funzione $f_2$ e della funzione $8x$.
"ciampax":
Non ho ben chiaro dove vuoi andare a parare.
Capisco, forse sono stato poco chiaro. Cercherò di spiegarmi meglio
.Allora, se noi abbiamo una certa funzione nota, la indichiamo usualmente con la notazione $f(x)=8x$, $f(x)=3x$ e cosi via.
Ora, date le due funzioni scritte sopra, voglio trovare quella funzione (che indico con $y$) la cui derivata prima è pari alla somma di quelle due funzioni.
Ora, io vedo due modi per SCRIVERE (il mio dubbio è assolutamente formale, non concettuale) in simboli questo problema:
1° modo) Chiamo le due funzioni note rispettivamente $a$ e $b$ e la funzione incognita $c$. Il problema è dunque espresso dal simbolismo:
$a+b=c'$, $a: f(x)=8x$, $b: f(x)=3x$
Insomma, questo modo di scrivere l'equazione funzionale non è molto pratico, in quanto devo scrivere sia un'equazione letterale, sia devo specificare a quali funzioni corrispondono le lettere $a,b,c$ ok?
2° modo) E' più immediato del primo, in quanto posso formulare direttamente il problema come $(f(x)=8x)+(f(x)=3x)=y'$;
3° modo) E' ancora più immediato, in particolare è quello utilizzato dai testi:
$8x+11x=y'$.
Mi sono posto queste domande perchè i testi, pur indicando le funzioni note con la usuale scritta $f(x)=10e^x..$, negli esercizi sulle equazioni differenziali considerano solo il membro a destra dell'uguaglianza $f(x)=10e^x$, e non tutti e due.
Per esempio, scrivono $(3x)y'+(9x)y=4x$ anziché $(f(x)=3x)y'+(f(x)=9x)y=(f(x)=4x)$ che lo reputo nettamente più corretto.
Grazie.
"lisdap":
... che lo reputo nettamente più corretto.
Il fatto che non esista al mondo un testo che utilizzi questa notazione "nettamente più corretta" vorrà dire qualcosa.
"ciampax":
e della funzione $8x$.
Ecco, nonostante la notazione completa è $f(x)=8x$, le funzioni note vengono indicate scrivendo soltanto $8x$.
E' questo il punto. Secondo me la notazione $f(x)=8x$ è necessaria, in quanto di dice che $x$ è la variabile indipendente della tua funzione, cosa che non si evince scrivendo semplicemente $8x$, in quanto $x$ potrebbe essere un parametro e non una variabile indipendente.
Insomma, si tratta di un pelo nell'uovo.
Mah, continuo a trovarlo un discorso poco sensato.
"ciampax":
Mah, continuo a trovarlo un discorso poco sensato.
Prendi l'equazione della retta $y=3x$. Secondo la definizione che si dà in Analisi di funzione, una funzione da $A$ a $B$ è una legge che associa ad ogni elemento di $A$ uno ed un solo elemento di $B$. Quindi l'equazione $y=3x$ è questa legge, poichè se $x$ vale $1$, $y$ vale $3$ e a ogni $x$ corrisponde uno ed un solo $y$.
Ora prendi la funzione $y=3x$ e "butta" la $y$: ti rimane $3x$. Bene, questo $3x$ non rappresenta nulla di sensato, né tantomeno secondo me indicherebbe una funzione, perchè la definizione dice che la funzione è una legge, e la legge è soltanto una proposizione aperta, quale ad esempio $y=3x$ e non $3x$.
Da queste considerazioni nasce il mio "rifiuto" per quella notazione.
Buona serata.
Se $3x$ non rappresenta niente di sensato, allora mi sa che siamo nei guai: $3x$ è un monomio. Che esso da solo non rappresenti una funzione, sono d'accordo. ma se scrivi $y'=3x y$ stai dicendo che la funzione $y'$ è definita come $3x y$, per cui non vedo che bisogno tu abbia di scrivere pure $(f'=y')=3x(f=y)$.
Poi vorrei sottolineare una cosa: spesso e volentieri, dopo che ti è stato detto che le cose che dici hanno poco senso, metti il broncio. Io invece di fare così, comincerei a pormi la domanda se, magari, quello che sostengono non siano una marea di cavolate. ma fai un po' come vuoi: o altri 130 studenti come te a cui cercare di far comprendere che "certe convinzioni" sono solo elucubrazioni che con la matematica hanno poco o niente a che fare.
Vuoi usare quella notazione? fallo pure. Quando verrai bocciato ad un esame perché hai scritto una cosa simile, non dire che non ti avevo avvertito.
Ciao ciao.
P.S.: ah, e prima di venirmi a dire che ti ho offeso, faccio presente che quello che ha scritto un intervento e ha tagliato corto con "Buona serata" lasciando virtualmente l'altro con un palmo di naso sei stato tu. Io fino ad ora ho cercato di farti capire che ciò che dicevi aveva "poco interesse matematico": poi se pensi che ogni tuo singolo "rutto mentale" sia una genialata, allora candidati al Nobel. Non so se lo hai capito, ma quel tuo ultimo intervento mi ha davvero infastidito.
Poi vorrei sottolineare una cosa: spesso e volentieri, dopo che ti è stato detto che le cose che dici hanno poco senso, metti il broncio. Io invece di fare così, comincerei a pormi la domanda se, magari, quello che sostengono non siano una marea di cavolate. ma fai un po' come vuoi: o altri 130 studenti come te a cui cercare di far comprendere che "certe convinzioni" sono solo elucubrazioni che con la matematica hanno poco o niente a che fare.
Vuoi usare quella notazione? fallo pure. Quando verrai bocciato ad un esame perché hai scritto una cosa simile, non dire che non ti avevo avvertito.
Ciao ciao.
P.S.: ah, e prima di venirmi a dire che ti ho offeso, faccio presente che quello che ha scritto un intervento e ha tagliato corto con "Buona serata" lasciando virtualmente l'altro con un palmo di naso sei stato tu. Io fino ad ora ho cercato di farti capire che ciò che dicevi aveva "poco interesse matematico": poi se pensi che ogni tuo singolo "rutto mentale" sia una genialata, allora candidati al Nobel. Non so se lo hai capito, ma quel tuo ultimo intervento mi ha davvero infastidito.
"ciampax":
P.S.: ah, e prima di venirmi a dire che ti ho offeso, faccio presente che quello che ha scritto un intervento e ha tagliato corto con "Buona serata" lasciando virtualmente l'altro con un palmo di naso sei stato tu. Io fino ad ora ho cercato di farti capire che ciò che dicevi aveva "poco interesse matematico": poi se pensi che ogni tuo singolo "rutto mentale" sia una genialata, allora candidati al Nobel. Non so se lo hai capito, ma quel tuo ultimo intervento mi ha davvero infastidito.
ciampax, non mi sono offeso, sul serio. Hai frainteso
"ciampax":
Se $3x$ non rappresenta niente di sensato, allora mi sa che siamo nei guai: $3x$ è un monomio. Che esso da solo non rappresenti una funzione, sono d'accordo.
Si
Ho l'equazione differenziale $y'+(2/x)y=1/x^2$. Secondo la definizione, questa è una EDO lineare del primo ordine, dove $2/x$ e $1/x^2$ sono due funzioni continue su un certo intervallo. Ripeto, questo che ho scritto è secondo la definizione.
Ora, concordi anche tu sul fatto che $2/x$,$1/x^2$ sono monomi e non funzioni.
Ecco dunque perchè sento l'esigenza di scrivere il testo dell'esercizio come $y'+(f(x)=2/x)y=(f(x)=1/x^2)$. Infatti, ora posso dire: $f(x)=2/x$, $f(x)=1/x^2$ sono funzioni.
Ora, concordi anche tu sul fatto che $2/x$,$1/x^2$ sono monomi e non funzioni.
Ecco dunque perchè sento l'esigenza di scrivere il testo dell'esercizio come $y'+(f(x)=2/x)y=(f(x)=1/x^2)$. Infatti, ora posso dire: $f(x)=2/x$, $f(x)=1/x^2$ sono funzioni.
Eh no, fermo: qui sei nello stesso caso che ti ho mostrato io: quelle due sono funzioni perché servono a combinare l'equazione differenziale, che deve restituire una funzione. Mi sa che è questo che non ti è chiaro.
"ciampax":
Mi sa che è questo che non ti è chiaro.
Non mi è chiaro quello che intendi dire.
La vedo più un'uguaglianza tra monomi...
@ciampax
Santo e subito!
@lisdap
Da tempo seguo le tue discussioni. Ammiro il tuo impegno e la tua ostinazione. Tuttavia, come ha detto anche ciampax, dovresti cercare di essere più efficace. Altrimenti, quelle che sono senz'altro delle qualità, rischiano di diventare dei pesanti fardelli.
Santo e subito!
@lisdap
Da tempo seguo le tue discussioni. Ammiro il tuo impegno e la tua ostinazione. Tuttavia, come ha detto anche ciampax, dovresti cercare di essere più efficace. Altrimenti, quelle che sono senz'altro delle qualità, rischiano di diventare dei pesanti fardelli.
No speculor, m'hanno già santificato!
Salve, spinto dalle "ramanzine" che mi avete fatto e dai dubbi che avevo per la testa, ho ragionato sul concetto vero e proprio di equazione differenziale e mi sono accorto che il mio pensiero precedente a riguardo era alquanto lacunoso e scorretto.
Spero che quello che dico ora sia corretto
Supponiamo innanzitutto di avere una funzione $F$ che presenta le seguenti caratteristiche:
1) questa funzione prende come "input" un vettore di $n+2$ componenti reali (per ogni $n in NN$), e restituisce valori reali:
$F: RR^(n+2)->RR$;
2) il vettore di "input" è tale che le sue componenti non sono tutte variabili indipendenti, bensi c'è soltanto una variabile indipendente, mentre ognuna delle restanti componenti è una variabile dipendente secondo la legge stabilita da una certa funzione, che supponiamo incognita e che indichiamo con $a_i$
3) il grado di derivazione delle funzioni di cui ho appena parlato non è necessariamente zero.
4) $F$ è una funzione NOTA, cioè di cui conosciamo l'espressione analitica.
Per esempio, $F$ potrebbe essere una funzione di questo tipo: $a_1+a_2+a_3+a_4+x=z$, dove $a_i$ e $x$ sono le variabili indipendenti, e $z$ quella dipendente (in riferimento a $F$ ovviamente). Posso indicare $F$ anche con la scritta $F(x,a_1,a_2,a_3,a_4)$
Considero poi una funzione costante $u$ pari a zero (quindi $u$ sarà costante anche rispetto alle variabili dalle quali dipende $F$, cioè rispetto ad $a_1,a_2$ ecc.. giusto? Per esempio, $u: z=0$, con $z$ variabile dipendente.
Fatto questo, uguaglio la funzione $F$ con la funzione $u$, ottenendo la cosiddetta equazione funzionale $F(x,a_1,a_2,a_3,a_4)=u$.
Quindi, definite queste cose, non posso fare altro che chiedermi quali debbano essere quelle funzioni $a_1,a_2..$ che soddisfano questa equazione, e cioè che sono tali da far si che $F$ restituisca il valore nullo al variare della variabile indipendente $x$ in un certo intervallo. Va meglio?
A seconda poi del fatto che le funzioni incognite sono derivate o meno rispetto a $x$, si parla più in particolare di "equazione differenziale".
Grazie mille.
Spero che quello che dico ora sia corretto
Supponiamo innanzitutto di avere una funzione $F$ che presenta le seguenti caratteristiche:
1) questa funzione prende come "input" un vettore di $n+2$ componenti reali (per ogni $n in NN$), e restituisce valori reali:
$F: RR^(n+2)->RR$;
2) il vettore di "input" è tale che le sue componenti non sono tutte variabili indipendenti, bensi c'è soltanto una variabile indipendente, mentre ognuna delle restanti componenti è una variabile dipendente secondo la legge stabilita da una certa funzione, che supponiamo incognita e che indichiamo con $a_i$
3) il grado di derivazione delle funzioni di cui ho appena parlato non è necessariamente zero.
4) $F$ è una funzione NOTA, cioè di cui conosciamo l'espressione analitica.
Per esempio, $F$ potrebbe essere una funzione di questo tipo: $a_1+a_2+a_3+a_4+x=z$, dove $a_i$ e $x$ sono le variabili indipendenti, e $z$ quella dipendente (in riferimento a $F$ ovviamente). Posso indicare $F$ anche con la scritta $F(x,a_1,a_2,a_3,a_4)$
Considero poi una funzione costante $u$ pari a zero (quindi $u$ sarà costante anche rispetto alle variabili dalle quali dipende $F$, cioè rispetto ad $a_1,a_2$ ecc.. giusto? Per esempio, $u: z=0$, con $z$ variabile dipendente.
Fatto questo, uguaglio la funzione $F$ con la funzione $u$, ottenendo la cosiddetta equazione funzionale $F(x,a_1,a_2,a_3,a_4)=u$.
Quindi, definite queste cose, non posso fare altro che chiedermi quali debbano essere quelle funzioni $a_1,a_2..$ che soddisfano questa equazione, e cioè che sono tali da far si che $F$ restituisca il valore nullo al variare della variabile indipendente $x$ in un certo intervallo. Va meglio?
A seconda poi del fatto che le funzioni incognite sono derivate o meno rispetto a $x$, si parla più in particolare di "equazione differenziale".
Grazie mille.
Salve, ora dovrebbe essermi tutto chiaro.
Supponiamo di avere una funzione $F$ nota, che dipende dalle variabili $t$, $y$, $y'$,....,$y^(n)$.
Ad esempio, $F$ potrà essere definita da un'espressione del tipo $F: 3t+4y+5y'+.....+2y^(n)=z$, dove $t$, $y$, $y'$,....,$y^(n)$ sono le variabili indipendenti di $F$, e $z$ è quella dipendente.
Infatti, la funzione $F$ è caratterizzata dalla corrispondenza $(t,y,y',...,y^(n))->3t+4y+5y'+...+2y^(n)=F(t,y,y',...,y^n)$.
Fatto questo, possiamo definire l'equazione $F(t,y,y',...,y^(n))=0$, che, nel caso specifico considerato, equivale a considerare l'equazione $3t+4y+5y'+...+2y^(n)=0$.
A questo punto facciamo la seguente osservazione:
L'equazione $F(t,y,y',...,y^(n))=0$, che è una normale equazione algebrica (giusto?), contiene $n+2$ variabili. Di queste $n+2$ variabili, $n+1$ sono funzioni di $t$, cioè il valore che assumono dipende dal valore che assume $t$. Per evidenziare questo fatto, possiamo indicare tali variabili con la scritta $y^(i)(t)$, $i=0,...,n$. Inoltre, la variabile $y(t)$ è l'immagine di $t$ tramite una applicazione $L$, $y'(t)$ è l'immagine di $t$ tramite una applicazione $L'$,...,$y^i(t)$ è l'immagine di $t$ tramite l'applicazione $L^(i)$, $i=0,...,n$. Quindi la differenza tra una equazione algebrica e un'equazione di questo tipo è che, mentre nel primo caso le incognite dell'equazione non sono funzioni di altre incognite, in questo caso le incognite dell'equazione sono funzione di $t$, tramite una applicazione che $L$ che può risultare derivata.
A questo punto mi posso chiedere quali valori debbano assumare le variabili $(t,y,y',...,y^(n))$ affinché risolvano l'equazione $F(t,y,y',...,y^(n))=0$. Per esempio, data l'equazione differenziale $t+y+y'=0$, osservo che il vettore $(1,-2,1)$, e tanti altri, risolvono l'equazione; risolvere l'equazione in questo modo, tuttavia, è molto scomodo in quanto ciò implicherebbe effettuare un numero praticamente infinito di prove. Quindi, anzichè fare un elenco infinito di soluzioni, potrei sinteticamente esprimere le soluzioni di $F(t,y,y',...,y^(n))=0$ con una funzione derivabile un numero opportuno di volte.
Grazie mille.
Supponiamo di avere una funzione $F$ nota, che dipende dalle variabili $t$, $y$, $y'$,....,$y^(n)$.
Ad esempio, $F$ potrà essere definita da un'espressione del tipo $F: 3t+4y+5y'+.....+2y^(n)=z$, dove $t$, $y$, $y'$,....,$y^(n)$ sono le variabili indipendenti di $F$, e $z$ è quella dipendente.
Infatti, la funzione $F$ è caratterizzata dalla corrispondenza $(t,y,y',...,y^(n))->3t+4y+5y'+...+2y^(n)=F(t,y,y',...,y^n)$.
Fatto questo, possiamo definire l'equazione $F(t,y,y',...,y^(n))=0$, che, nel caso specifico considerato, equivale a considerare l'equazione $3t+4y+5y'+...+2y^(n)=0$.
A questo punto facciamo la seguente osservazione:
L'equazione $F(t,y,y',...,y^(n))=0$, che è una normale equazione algebrica (giusto?), contiene $n+2$ variabili. Di queste $n+2$ variabili, $n+1$ sono funzioni di $t$, cioè il valore che assumono dipende dal valore che assume $t$. Per evidenziare questo fatto, possiamo indicare tali variabili con la scritta $y^(i)(t)$, $i=0,...,n$. Inoltre, la variabile $y(t)$ è l'immagine di $t$ tramite una applicazione $L$, $y'(t)$ è l'immagine di $t$ tramite una applicazione $L'$,...,$y^i(t)$ è l'immagine di $t$ tramite l'applicazione $L^(i)$, $i=0,...,n$. Quindi la differenza tra una equazione algebrica e un'equazione di questo tipo è che, mentre nel primo caso le incognite dell'equazione non sono funzioni di altre incognite, in questo caso le incognite dell'equazione sono funzione di $t$, tramite una applicazione che $L$ che può risultare derivata.
A questo punto mi posso chiedere quali valori debbano assumare le variabili $(t,y,y',...,y^(n))$ affinché risolvano l'equazione $F(t,y,y',...,y^(n))=0$. Per esempio, data l'equazione differenziale $t+y+y'=0$, osservo che il vettore $(1,-2,1)$, e tanti altri, risolvono l'equazione; risolvere l'equazione in questo modo, tuttavia, è molto scomodo in quanto ciò implicherebbe effettuare un numero praticamente infinito di prove. Quindi, anzichè fare un elenco infinito di soluzioni, potrei sinteticamente esprimere le soluzioni di $F(t,y,y',...,y^(n))=0$ con una funzione derivabile un numero opportuno di volte.
Grazie mille.
Mammamia, lisdap... Ancora con queste pippe mentali?!?
Basta, dai, non se ne può più.
Tornando seri, sinceramente, non vedo il problema.
Un matematico cerca sempre di fare tutto il possibile per semplificare la notazione, altrimenti ciò che scrive diventerebbe illegibile.
Te lo immagini un libro di Analisi scritto secondo i dettami della logica formale, pieno di formule e senza nemmeno una parola? Sarebbe inavvicinabile da chiunque.
Allo stesso modo, scrivere una EDO semplicemente come \(y^\prime + \frac{2}{x}\ y=\frac{1}{x^2}\) è una semplificazione notazionale: infatti se uno dovesse scrivere esplicitamente tutto il problema, anziché dire semplicemente:
dovrebbe scrivere:
***
Tornando al problema delle equazioni differenziali, il tuo casino notazionale mi pare dipenda dal fatto che non hai capito cos'è una EDO.
Dato che non su tutti i libri è riportata una definizione precisa (sic!) te la dò io, sperando che serva a qualcosa.
Come detto sopra, è per pure e semplici voglia di sintesi e comodità notazionale che una EDO in forma implicita si indica col simbolo \(F(x,y,y^\prime , \ldots ,y^{(N)})=0\), in cui la funzione \(u\) è sostituita dalla incognita \(y\) per ragioni di praticità (infatti "storicamente" la \(y\) serve per denotare una variabile dipendente!).
Analogo discorso si può fare per le EDO in forma normale:
che per comodità notazionale si scrive semplicemente \(y^{(N)}=f(x,y,y^\prime ,\ldots ,y^{(N-1)})\) ove la presenza di \(y\) si spiega come sopra.
Basta, dai, non se ne può più.
Tornando seri, sinceramente, non vedo il problema.
Un matematico cerca sempre di fare tutto il possibile per semplificare la notazione, altrimenti ciò che scrive diventerebbe illegibile.
Te lo immagini un libro di Analisi scritto secondo i dettami della logica formale, pieno di formule e senza nemmeno una parola? Sarebbe inavvicinabile da chiunque.
Allo stesso modo, scrivere una EDO semplicemente come \(y^\prime + \frac{2}{x}\ y=\frac{1}{x^2}\) è una semplificazione notazionale: infatti se uno dovesse scrivere esplicitamente tutto il problema, anziché dire semplicemente:
Risolvere l'equazione \(y^\prime + \frac{2}{x}\ y=\frac{1}{x^2}\)
dovrebbe scrivere:
Posto \(a(x):=\frac{2}{x}\) e \(b(x):=\frac{1}{x^2}\), studiare l'esistenza e determinare esplicitamente il dominio e la legge di assegnazione di ogni funzione (se esiste) \(y(x)\) tale che per ogni \(x\) nel suo insieme di definizione risulta \(y^\prime (x)+a(x)\ y(x)=b(x)\).
***
Tornando al problema delle equazioni differenziali, il tuo casino notazionale mi pare dipenda dal fatto che non hai capito cos'è una EDO.
Dato che non su tutti i libri è riportata una definizione precisa (sic!) te la dò io, sperando che serva a qualcosa.
Siano \(N\in \mathbb{N}\), \(\Omega\subseteq \mathbb{R}^{N+2}\) non vuoto ed \(F:\Omega \to \mathbb{R}\) una funzione.
Si chiama equazione differenziale ordinaria di ordine \(N\) (in forma implicita) il problema di determinare se esiste qualche insieme \(I\subseteq \mathbb{R}\) e qualche funzione \(u:I\to \mathbb{R}\) che godono delle seguenti proprietà:
[*:1fb0d8gn] \(I\) è un intervallo aperto contenuto nella proiezione ortogonale di \(\Omega\) sul primo asse cartesiano, i.e. \(I\subseteq \text{proj}_1 \Omega\);
[/*:m:1fb0d8gn]
[*:1fb0d8gn] \(u\) è derivabile almeno \(N\) volte in \(I\);
[/*:m:1fb0d8gn]
[*:1fb0d8gn] per ogni \(x\in I\) risulta \((x,u(x),u^\prime (x),\ldots ,u^{(N)}(x))\in \Omega\) ed anche \(F(x,u(x),u^\prime (x),\ldots ,u^{(N)}(x))=0\).[/*:m:1fb0d8gn][/list:u:1fb0d8gn]
Come detto sopra, è per pure e semplici voglia di sintesi e comodità notazionale che una EDO in forma implicita si indica col simbolo \(F(x,y,y^\prime , \ldots ,y^{(N)})=0\), in cui la funzione \(u\) è sostituita dalla incognita \(y\) per ragioni di praticità (infatti "storicamente" la \(y\) serve per denotare una variabile dipendente!).
Analogo discorso si può fare per le EDO in forma normale:
Siano \(N\in \mathbb{N}\), \(U\subseteq \mathbb{R}^{N+1}\) non vuoto ed \(f:U \to \mathbb{R}\) una funzione.
Si chiama equazione differenziale ordinaria di ordine \(N\) in forma normale (o esplicita) il problema di determinare se esiste qualche insieme \(I\subseteq \mathbb{R}\) e qualche funzione \(u:I\to \mathbb{R}\) che godono delle seguenti proprietà:
[*:1fb0d8gn] \(I\) è un intervallo aperto contenuto nella proiezione ortogonale di \(U\) sul primo asse cartesiano, i.e. \(I\subseteq \text{proj}_1 U\);
[/*:m:1fb0d8gn]
[*:1fb0d8gn] \(u\) è derivabile almeno \(N\) volte in \(I\);
[/*:m:1fb0d8gn]
[*:1fb0d8gn] per ogni \(x\in I\) risulta \((x,u(x),u^\prime (x),\ldots ,u^{(N-1)}(x))\in U\) ed anche \(u^{(N)}(x)=f(x,u(x),u^\prime (x),\ldots ,u^{(N-1)}(x))\).[/*:m:1fb0d8gn][/list:u:1fb0d8gn]
che per comodità notazionale si scrive semplicemente \(y^{(N)}=f(x,y,y^\prime ,\ldots ,y^{(N-1)})\) ove la presenza di \(y\) si spiega come sopra.
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