Equazioni differenziali (DUBBIO INTERVALLO DEF SOLUZIONE)
Data una qualsiasi equazione differenziale:
es:
$y'=sqrt(1-y^2)/(x+1)$
il mio prof chiede spesso di specificare il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione ed a questo punto ho qualche dubbio.
Di questa equazione diff ho trovato la soluzione
$y=sen(log(x+1)+c)$
Adesso il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione è
$x> - 1$ ????
es:
$y'=sqrt(1-y^2)/(x+1)$
il mio prof chiede spesso di specificare il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione ed a questo punto ho qualche dubbio.
Di questa equazione diff ho trovato la soluzione
$y=sen(log(x+1)+c)$
Adesso il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione è
$x> - 1$ ????
Risposte
Se la soluzione è giusta, si.
Quindi quando l'esercizio chiede:
"trovare la soluzione e specificare il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione"
devo trovare la soluzione e poi semplicemente specificare il suo dominio di def?
"trovare la soluzione e specificare il più ampio intervallo in cui è definita la soluzione"
devo trovare la soluzione e poi semplicemente specificare il suo dominio di def?
Di solito si. Ci sono però dei casi in cui occorre fare attenzione. Per esempio nel problema di Cauchy
\[\begin{cases} y'=y^2 \\ y(0)=y_0 \end{cases}\]
l'unica soluzione ha espressione analitica
\[f(x)=\frac{1}{\frac{1}{y_0}-x}\]
dunque apparentemente è definita in \((-\infty, 1/y_0)\cup (1/y_0, +\infty)\). In realtà va scelto uno solo dei due intervalli, quello a cui appartiene \(y_0\). Trovi degli esercizi svolti su questo fatto al sito
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx
vedi la lezione "Separable equations" e la sezione "Intervals of validity".
\[\begin{cases} y'=y^2 \\ y(0)=y_0 \end{cases}\]
l'unica soluzione ha espressione analitica
\[f(x)=\frac{1}{\frac{1}{y_0}-x}\]
dunque apparentemente è definita in \((-\infty, 1/y_0)\cup (1/y_0, +\infty)\). In realtà va scelto uno solo dei due intervalli, quello a cui appartiene \(y_0\). Trovi degli esercizi svolti su questo fatto al sito
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/DE.aspx
vedi la lezione "Separable equations" e la sezione "Intervals of validity".
Ad es dato il sistema:
${(y'=(y^2-y)x^2/(x^3-1)),(y(0)=2):}$
dopo l'integrazione avendo ottenuto:
$log(|y/(y-1)|)=1/3*log(|x^3-1|)$
posso considerare solamente gli intervalli di interesse:
$y/(y-1)>0$ => $y<0Uy>1$
$x^3-1<0$ => $x<1$
quindi scrivere:
$log((y-1)/y)=log(1-x^3)+c$
$c=log(1/2)$
e quindi:
$ y=2/(2-(1-x^3)) $
definita in:
quindi pongo: $2-(1-x^3)!=0$
e quindi il più grande intervallo in cui è definita la soluzione è:
$x<1$ con$ x!=2-(1-x^3)$
Pensate sia giusto?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%3D%28%28y%5E2-y%29x%5E2%29+%2F+%28x%5E3-1%29%2Cy%280%29%3D2
Wolfram la fa cosi ma non prende in considerazione il valore assoluto.
${(y'=(y^2-y)x^2/(x^3-1)),(y(0)=2):}$
dopo l'integrazione avendo ottenuto:
$log(|y/(y-1)|)=1/3*log(|x^3-1|)$
posso considerare solamente gli intervalli di interesse:
$y/(y-1)>0$ => $y<0Uy>1$
$x^3-1<0$ => $x<1$
quindi scrivere:
$log((y-1)/y)=log(1-x^3)+c$
$c=log(1/2)$
e quindi:
$ y=2/(2-(1-x^3)) $
definita in:
quindi pongo: $2-(1-x^3)!=0$
e quindi il più grande intervallo in cui è definita la soluzione è:
$x<1$ con$ x!=2-(1-x^3)$
Pensate sia giusto?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%3D%28%28y%5E2-y%29x%5E2%29+%2F+%28x%5E3-1%29%2Cy%280%29%3D2
Wolfram la fa cosi ma non prende in considerazione il valore assoluto.
Non hai fatto bene questo esercizio. Intanto l'equazione è definita solo per \(x\ne 1\), e siccome il punto iniziale è \(0\) devi scegliere l'intervallo \(x \in (-\infty, 1)\). Poi, se fai bene l'integrazione (tu hai sbagliato qualche conto), ti verrà il risultato
\[y(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{2}(x^3-1)^{1/3}}.\]
Questa espressione ha senso per \(x \ne -\sqrt[3]{7}\), però devi mettere a sistema con la condizione \(x<1\) che hai trovato prima e poi devi scegliere l'intervallo contenente il punto iniziale \(x=0\). In totale \(y\) è definita per \(x \in (-\sqrt[3]{7}, 1)\).
\[y(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{2}(x^3-1)^{1/3}}.\]
Questa espressione ha senso per \(x \ne -\sqrt[3]{7}\), però devi mettere a sistema con la condizione \(x<1\) che hai trovato prima e poi devi scegliere l'intervallo contenente il punto iniziale \(x=0\). In totale \(y\) è definita per \(x \in (-\sqrt[3]{7}, 1)\).
Grazie:) ho cpt perfettamente avevo sbagliato i calcoli:)
Prego. Stai attento, comunque: non avevi sbagliato solo i calcoli ma anche il concetto non ti era chiaro. Se hai tempo cerca di fare qualche altro esercizio su questo argomento.
Adesso ne faccio altri e posto per verificare se ho capito:) 
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