Equazioni differenziali di secondo ordine

[bruno_s]

Salve raga, sto cercando di comprendere la dimostrazione del teorema riguardante l'indipendenza delle soluzioni di un'equazione differenziale di secondo ordine.

Siano z1, z2 due funzioni linearmente dipendenti in \(\displaystyle C^2(I) \); quindi esistono due costanti \(\displaystyle (c1, c2)\neq(0,0) \) tali che:

\(\displaystyle c1z1(t)+c2 z2(t) = 0\) per ogni t \(\displaystyle\in I \)
Derivando si trova:
\(\displaystyle c1z'1(t)+c2z'2(t) = 0 \)per ogni t \(\displaystyle\in I \)

e quindi i numeri (c1,c2) sono una soluzione non banale del sistema lineare omogeneo

\(\displaystyle c1z1(t)+c2 z2(t) = 0\) per ogni t \(\displaystyle\in I \)
\(\displaystyle c1z'1(t)+c2z'2(t) = 0 \)per ogni t \(\displaystyle\in I \)

che per tanto deve avere determinante nullo per ogni t.

Quest'ultimo sistema, visto che dovrebbe avere una soluzione non banale, perché deve avere determinante nullo?

[ciampax]

Teorema di Cramer.

[bruno_s]

Ho fatto algebra l'anno scorso e qualcosa mi sfugge. Io da algebra ricordo che quando il determinante era nullo vi erano infinite soluzioni... in questo caso la soluzione non dovrebbe essere una? (c1, c2)?

[ciampax]

Se il determinante è diverso da zero ottieni una sola soluzione e visto che in questo caso i termini noti sono $(0,0)$ allora l'unica soluzione è $c_1=0,\ c_2=0$.

[bruno_s]

"ciampax":Se il determinante è diverso da zero ottieni una sola soluzione e visto che in questo caso i termini noti sono $(0,0)$ allora l'unica soluzione è $c_1=0,\ c_2=0$.

bene, ma quello che hai appena detto non significa che anche nel teorema per ottenere quella soluzione il determinante debba essere diverso da zero?
Nella dimostrazione sta scritto che deve avere determinante NULLO...
PS grazie per l'aiuto

[ciampax]

Ma infatti tu parti da $z_1, z_2$ dipendenti! Se fossero $c_1=c_2=0$ questo implicherebbe che esse siano indipendenti!

[bruno_s]

Perfetto, ho capito grazie mille

[ciampax]

Prego.