Equazioni differenziali di primo ordine!!!
Salve a tutti.
Non riesco a svolgere questa equazione (problema di Cauchy)
y'-2y/(y+x)=0
y(1)=2
Vi spiego il mio problema: arrivo fino all' integrazione e poi mi blocco perchè quando sostituisco la y si complica.
Vi mostro i passaggi che ho fatto:
Pongo Z=Y/X perciò y=zx e y'= z'x+z
sostituisco e ho:
z'x+z+z= 2z/(z+1) porto z a secondo membro e moltiplico per z+1 e raccolgo -z e ho:
z'x= (-z)*(z-1)/(z+1)
Gli integrali che ho sono:
$ \int (z+1)/(-z(z-1)) dz$ = $\int 1/x dX$
Il cui risultato è:
ln|z|-2ln|z-1|=ln|x|+c
Per la proprietà dei logaritmi il 2 diventa l esponente dell' argomento del ln e la sottrazione afferma che c è un quoziente.Per togliermi il ln uso l' esponenziale.Perciò diventa:
z / (( z-1)^2) = x + e^c
Ho provato a moltiplicare per (z-1)^2 ma poi quando sostituisco Z=Y/X si complica molto e non riesco a ricavare la y
Per favore aiutatemi, perchè non so più andare avanti!!!
Non riesco a svolgere questa equazione (problema di Cauchy)
y'-2y/(y+x)=0
y(1)=2
Vi spiego il mio problema: arrivo fino all' integrazione e poi mi blocco perchè quando sostituisco la y si complica.
Vi mostro i passaggi che ho fatto:
Pongo Z=Y/X perciò y=zx e y'= z'x+z
sostituisco e ho:
z'x+z+z= 2z/(z+1) porto z a secondo membro e moltiplico per z+1 e raccolgo -z e ho:
z'x= (-z)*(z-1)/(z+1)
Gli integrali che ho sono:
$ \int (z+1)/(-z(z-1)) dz$ = $\int 1/x dX$
Il cui risultato è:
ln|z|-2ln|z-1|=ln|x|+c
Per la proprietà dei logaritmi il 2 diventa l esponente dell' argomento del ln e la sottrazione afferma che c è un quoziente.Per togliermi il ln uso l' esponenziale.Perciò diventa:
z / (( z-1)^2) = x + e^c
Ho provato a moltiplicare per (z-1)^2 ma poi quando sostituisco Z=Y/X si complica molto e non riesco a ricavare la y
Per favore aiutatemi, perchè non so più andare avanti!!!
Risposte
Se sostituisci prima di usare le proprietà dei logaritmi, forse il calcolo diventa più semplice.
Grazie ciampax per la risposta 
ho fatto quello che mi hai detto e mi trovo con:
y= [( x+(2x^2)-(2xe^c) ±sqrt(-15x^2 + 4x^4 + 4(x^2)*(e^2c))]
chiaramente quando vado a sostituire per la condizione di Cauchy sotto la radice quadrata mi esce un numero negativo; ma non penso che si debbano usare i numeri complessi in questo esercizio.
Quindi ho chiesto anche a un mio amico e mi ha detto che lui prima di trovare la y si è trovato e^c con la condizione di Cauchy.Poi sostituisce i dati e ha un equazione si secondo grado nell' incognita z, la risolve e successivamente moltiplica per x perchè abbiamo posto che z=y/x trovando la y.
Ho fatto come mi ha detto lui e mi trovo che e^c= 1 quindi c = 0 perchè y(1)= 2 e z(1)=2, sostituisco nell' equazione, mi ricavo le radici e ho che
y= { [ -2x-3 ±sqrt(4x+5)]/[-2x-2]} * X
L' ultima x l ho fatto grande per rendere noto che essa è dovuta al prodotto y=zx.
Non so se questo modo sia corretto perchè si trova prima il valore c e poi l' incognita y; invece di solito si trova prima la y e poi si ricava il valore della c.
Per cortesia ditemi voi se questo metodo sia esatto e perchè il modo che mi ha suggerito ciampax mi escono soluzioni complesse!
P.S.
scusate che non ho usato Latex per le radici ma ancora devo imparare a usarla bene
ho fatto quello che mi hai detto e mi trovo con:
y= [( x+(2x^2)-(2xe^c) ±sqrt(-15x^2 + 4x^4 + 4(x^2)*(e^2c))]
chiaramente quando vado a sostituire per la condizione di Cauchy sotto la radice quadrata mi esce un numero negativo; ma non penso che si debbano usare i numeri complessi in questo esercizio.
Quindi ho chiesto anche a un mio amico e mi ha detto che lui prima di trovare la y si è trovato e^c con la condizione di Cauchy.Poi sostituisce i dati e ha un equazione si secondo grado nell' incognita z, la risolve e successivamente moltiplica per x perchè abbiamo posto che z=y/x trovando la y.
Ho fatto come mi ha detto lui e mi trovo che e^c= 1 quindi c = 0 perchè y(1)= 2 e z(1)=2, sostituisco nell' equazione, mi ricavo le radici e ho che
y= { [ -2x-3 ±sqrt(4x+5)]/[-2x-2]} * X
L' ultima x l ho fatto grande per rendere noto che essa è dovuta al prodotto y=zx.
Non so se questo modo sia corretto perchè si trova prima il valore c e poi l' incognita y; invece di solito si trova prima la y e poi si ricava il valore della c.
Per cortesia ditemi voi se questo metodo sia esatto e perchè il modo che mi ha suggerito ciampax mi escono soluzioni complesse!
P.S.
scusate che non ho usato Latex per le radici ma ancora devo imparare a usarla bene
P.S.
la prima y è sbagliata ( ho dimenticato di dividere per 4) e perciò diventa:
y= [( x+(2x^2)-(2xe^c) ±sqrt(-15x^2 + 4x^4 + 4*(x^2)*(e^2c))]/4
la prima y è sbagliata ( ho dimenticato di dividere per 4) e perciò diventa:
y= [( x+(2x^2)-(2xe^c) ±sqrt(-15x^2 + 4x^4 + 4*(x^2)*(e^2c))]/4
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