Equazioni differenziali di ordine n>= 2

[Lauke]

Buona sera e buon natale a tutti, avrei un favore da chiedere, non è che qualkuno si ritrova con qualke dispensa, con relativi esempi sui metodi di risoluzione di equazioni differenziali di ordine maggiore di due con coefficenti variabili? Ve lo chiedo perchè il mio libro di testo non riporta nulla a riguardo, nuovo ordinamento forever...
Cmq in particolare m'interessano le equazioni "tipiche", cioè: manfredi, eulero, d'alambert, ecc. Qualkuno può aiutarmi? vi ringrazio e ancora auguri.

P.S. Se qualkuno può, e vuole, me le manda all'indirizzo [e-mail]. Grazie ancora

[Lord K]

Diciamo che in generale, dispense del genere si possono trovare in rete con una semplice ricerca su internet. Se ti interessano approfondimenti vari, ti consiglio

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/1 ... /index.htm

per le equazioni differenziali, oppure per il link principale:

http://ocw.mit.edu/OcwWeb/web/courses/c ... athematics

sono gli appunti per il MIT!

[Lauke]

Ho dato un occhiata ai siti che gentilmente mi hai postato, ma mi sembrano più che altro "applicativi". In realtà un sito con metodi risolutivi lo avevo trovato, ma ho perso il link, quindi sono un idiota, dato che nemmeno riesco a ritrovare il link. Non potresti mandarmi roba più "basilare" e poi con questi tuoi link approfondisco? Ti ringrazio cmq per la risposta.

[Lord K]

http://it.wikipedia.org/wiki/Metodi_di_ ... _ordinarie

Ovviamente là dove tutto si trova

[Lauke]

"Lord K":http://it.wikipedia.org/wiki/Metodi_di_soluzione_analitica_per_equazioni_differenziali_ordinarie

Ovviamente là dove tutto si trova

eh ma non ci sono ESEMPI SVOLTI su equazioni differenziali del secondo ordine a coefficenti costanti, lineari ovviamente, almeno per ora xD

[Lord K]

Gli ordini superiori al primo si possono ridurre a casi del primo ordine nella maggioranza dei casi e quindi risolvibili come sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Nel caso dei coefficienti costanti si tratta solo di trovare le radici di polinomi quale che sia $n$. Ovvio che se $n>=5$ ci sono problemi (perlomeno per la soluzione via radicali), ma di solito è improbabile siano dati come esercizio .

[Lauke]

Puoi farmi un esempio banale? Ordine 3 e ordine 2, che poi riconduci a ordine 1? Per favore =) grazie tante. Ricorda coefficenti non costanti

[Fioravante Patrone1]

"Lord K":http://it.wikipedia.org/wiki/Metodi_di_soluzione_analitica_per_equazioni_differenziali_ordinarie

Ovviamente là dove tutto si trova

Anche gli oranghi, e belli grossi...
Vedasi la crono di quella pag. (dal 22 ago al 6 set 2008 c'è la parte importante )

[Lord K]

Ho notato, come forte frequentatore ddella Wiki, la tua importante e immancabile presenza!!!!

W Patrone!

P.S. il mio è un sincero complimento al tuo contributo soprattutto critico!

[Lord K]

"Lauke":Puoi farmi un esempio banale? Ordine 3 e ordine 2, che poi riconduci a ordine 1? Per favore =) grazie tante. Ricorda coefficenti non costanti

Supponiamo di dover risolvere il caso generale di una ODE di terzo ordine:

$y'''+p_1(x)y''+p_2(x)y'+p_3(x)y=f(x)$

sia:

${(y'=u),(u'=v(=y'')),(v'+p_1(x)v+p_2(x)u+p_3(x)y = f(x)):}$

Questo sistema può essere scritto come:

$d/(dt)((y),(u),(v)) = ((0,1,0),(0,0,1),(-p_3(x),-p_2(x),-p_1(x))) ((y),(u),(v)) + ((0),(0),(f(x)))$

che in forma vettoriale diventa:

$d/(dt) \vec v = \bar \bar A \vec v + \vec c$

dove ovviamente:

$\vec v = ((y),(u),(v))$
$\bar \bar A = ((0,1,0),(0,0,1),(-p_3(x),-p_2(x),-p_1(x)))$
$\vec c = ((0),(0),(f(x)))$

Ora la risoluzione è simile al caso unidimensionale con un accorgimento riguardante la definizione dell'esponenziale di matrice!

$e^(\bar \bar A) = sum_(i=0)^(+oo) \bar \bar A^k/(k!)$

ovvero una applicazione sempre della stessa dimensione di $\bar \bar A$ da questa provando a risolvere l'equazione omogenea del caso sopra esposto:

$d/(dt) \vec v = \bar \bar A \vec v$

Abbiamo che la soluzione è:

$\vec v = e^(x\bar \bar A) \veck_0$

consideriamo $\vec k_0=\veck_0(x)$

$d/(dt) \vec v = \bar \bar Ae^(x\bar \bar A) \vec k_0 + e^(x\bar \bar A) \vec k_0 * d/(dt) \vec k_0$

Inserisco il tutto nell'equazione completa:

$\bar \bar Ae^(x\bar \bar A) \vec k_0 + e^(x\bar \bar A) \vec k_0 * d/(dt) \vec k_0 = \bar \bar A e^(x\bar \bar A) \veck_0 + \vec c$
$ e^(x\bar \bar A)* d/(dt) \vec k_0 = \vec c$

da cui:

$d/(dt) \vec k_0 = [e^(x\bar \bar A)]^(-1) \vec c$

e da qui trovo $k_0$ come:

$\vec k_0 = \int [e^(x\bar \bar A)]^(-1) \vec c dx$

ovviamente tenuto conto anche della condizione iniziale!

[Lauke]

Esempio esaustivo, l'algebra lineare la fa da padrone xD. C'è da prenderci la mano. Solo una cosa la il sistema ha 4 equazioni di cui la w l'hai "mangiata" c'era qualke dipendenza lineare che ti ha spinta a togliere l'equazione in w?

[Lord K]

Siccome non serviva portava solo a sovrabbondanza nelle equazioni. Mi basta trovare $v'$ ed il resto vien da sè! Ho sbagliato ad aggiungerla, infatti vado a modificare il post per toglierla