Equazioni differenziali di II ordine non omogenee

[Fabrufy]

Ciao a tutti, ho giá letto e mi sono confrontato con discussioni precedenti qui nel forum riguardo la risoluzione di equazioni di II ordine non omogenee. Grazie ad una vecchia discussione sono riuscito a capire alla perfezione la risoluzione di equazioni con termine noto pari a e^x senx e cosx e infine i polinomi. Ho tentato di svolgere esercizi più complessi e non mi vengono... Per esercizi più complessi intendo esercizi che al posto del termine noto hanno una funzione composta, per esempio:

Y"-3Y'+2Y= e^x/( e^x + 1)

Premetto che non voglio che mi risolviate l'esercizio, quello che mi interessa é capire come comportarmi in casi come questo o simili.
Vi ringrazio moltissimo. Ciao

[chisigma]

Data un'equazione differenziale lineare nella forma...

$y^{\ ''} + p(x)\ y^{\ '} + q(x)\ y = \varphi(x)$ (1)

... la sua soluzione e'...

$y(x)= c_{1}\ u(x) + c_{2}\ v(x) + Y(x)$ (2)

... dove u(*) e v(*) sono due soluzioni linearmente indipendenti della equazione omogenea $y^{\ ''} + p(x)\ y^{\ '} + q(x)\ y = 0$, Y(*) una soluzione particolare della (1), $c_{1}$ e $c_{2}$ due 'costanti arbitrarie'. Nel caso in cui u(*) e v(*) siano note, un metodo generale per trovare una Y(*) e' il cosidetto 'metodo del Wronskiano', in base al quale e'...

$Y(x)= C_{1}(x)\ u(x) + C_{2}(x)\ v(x)$ (3)

... dove...

$C_{1}(x)= - \int \frac{v(x)\ \varphi(x)}{W_{u,v} (x) }\ dx$ (4)

$C_{2}(x)= \int \frac{u(x)\ \varphi(x)}{W_{u,v} (x) }\ dx$ (5)

... dove $W_{u,v} (x) = u(x)\ v^{\ '}(x)- v(x)\ u^{\ '}(x)$ e' il Wronskiano di u(*) e v(*). Nel tuo caso e' abbastanza facile vedere che e' $u(x)= e^{x}$, $v(x)=e^{2 x}$ e $\varphi(x)= \frac{e^{x}}{e^{x}+1}$...

... a te il compito di valutare Y(x) utilizzando la procedura ora descritta...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$