Equazioni differenziali di Eulero: perché sono riconducibili a equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti?

[zagamid]

Le equazioni differenziali lineari del tipo
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{n}(a_i\cdot x^{i}\cdot y^{(i)}(x))=f(x) \)
dove \(\displaystyle a_i \in \mathbb{R} \), \(\displaystyle a_n=1 \), \(\displaystyle f:]a,b[\rightarrow \mathbb{R} \), \(\displaystyle 0 \notin ]a,b[ \), vengono dette equazioni differenziali lineari di Eulero.

Le equazioni differenziali lineari del tipo
\(\displaystyle \sum_{i=0}^{n}(a_i\cdot y^{(i)}(x))=f(x) \)
dove \(\displaystyle a_i \in \mathbb{R} \), \(\displaystyle a_n=1 \), \(\displaystyle f:]a,b[\rightarrow \mathbb{R} \), \(\displaystyle 0 \notin ]a,b[ \), vengono invece chiamate equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.

In tutti i testi di analisi matematica sta scritto che ogni equazione differenziale lineare di Eulero è riconducibile a un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti mediante la posizione \(\displaystyle x=e^t,\ u(t)=y(e^t) \) con \(\displaystyle t \in \mathbb{R} \), ma non ho mai trovato una dimostrazione completa di questa affermazione. In giro su internet si trova qualche scarabocchio che prova questa magia per \(\displaystyle n \leq 3 \) magari (e a fare questo ce la faccio pure io), ma mai vista una dimostrazione \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \).
Mi piacerebbe avere una dimostrazione completa. Qualcuno riesce a pubblicarne una qui, o ad accennarne una bozza?
Io purtroppo non so da dove cominciare.

[dissonance]

La grossa idea di Eulero è l'osservazione che l'equazione che ora porta il suo nome è invariante per cambi di scala, nel senso che la funzione
\[
f_\lambda(x)=f(\lambda x)
\]
dove \(\lambda>0\), è soluzione dell'equazione di Eulero se e solo se la funzione \(f\) lo è. In termini moderni si dice che il gruppo delle dilatazioni \((\mathbb{R}_{>0}, \cdot)\) è un gruppo di simmetrie dell'equazione. Questa è una analogia con le equazioni a coefficienti costanti, perché per queste ultime la funzione traslata
\[
f^{x_0}(x)=f(x-x_0)
\]
dove \(x_0\in \mathbb{R}\), è una soluzione dell'equazione a coefficienti costanti se e solo se \(f\) lo è. Anche qui, in termini moderni si dice che il gruppo delle traslazioni \((\mathbb{R}, +)\) è un gruppo di simmetrie.

Ora, pur non avendo a disposizione il linguaggio moderno, Eulero aveva capito benissimo che l'applicazione
\[
x\in (\mathbb{R}, +) \mapsto e^x\in (\mathbb{R}_{>0}, \cdot)
\]
è un isomorfismo di gruppi. Da qui l'idea di applicare un cambio di variabile esponenziale, sperando di trasformare l'equazione di Eulero in una equazione a coefficienti costanti. E infatti, data l'equazione
\[
a_n x^n \frac{d^n f}{dx^n} + a_{n-1} x^{n-1} \frac{ d^{n-1} f}{dx^{n-1}} +\dots + a_0 f(x) = 0, \]
in cui la variabile è \(x\in \mathbb{R}_{>0}\), scrivendo
\[
x=e^y, \quad f(x)=g(y), \]
la funzione \(g\) verifica l'equazione a coefficienti costanti
\[
a_n \frac{d^n g}{dy^n}+\dots+a_0 g(y)=0, \]
in cui la variabile è \(y\in \mathbb{R}\). Questa verifica è un esercizio standard di trasformazione puntuale di equazioni differenziali che mi sento di consigliare, perché permette di capire come funziona questa tecnica.

Pare che proprio da esempi come questo sia partito Sophus Lie quando ha messo a punto la sua teoria dei gruppi di simmetria delle equazioni differenziali.

[dissonance]

A rileggere vedo che forse la domanda era proprio su quello che io ho chiamato "esercizio standard". In effetti quella di cambiare variabili nelle equazioni differenziali è una operazione che viene raramente spiegata bene, ed è una cosa che fa confondere. Per capirci qualcosa in più suggerisco il piccolo paragrafo 1.4 di questo libro:

http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/

Per una spiegazione "pratica" molto ben fatta suggerisco di imparare da J. Michael Steele in Stochastic Calculus and Financial Applications, nel capitolo sull'equazione di diffusione (che è una PDE, la tecnica è la stessa, solo un po' più complicata). Ho trovato molto utile in particolare il paragrafo "Looking Back: Organizing Computations" che è stato anche riprodotto nella pagina di Wikipedia.

Infine, per i teorici, una spiegazione rigorosa di cosa sia un cambio di variabili in una equazione differenziale si trova nel libro di Olver, Applications of Lie groups to differential equations, paragrafo 2.2 "Groups and differential equations".

Buona lettura

[gugo82]

@ dissonance: Bel post. Complimenti.

@ zagamid:

"zagamid":In tutti i testi di analisi matematica sta scritto che ogni equazione differenziale lineare di Eulero è riconducibile a un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti mediante la posizione \(\displaystyle x=e^t,\ u(t)=y(e^t) \) con \(\displaystyle t \in \mathbb{R} \), ma non ho mai trovato una dimostrazione completa di questa affermazione. In giro su internet si trova qualche scarabocchio che prova questa magia per \(\displaystyle n \leq 3 \) magari (e a fare questo ce la faccio pure io), ma mai vista una dimostrazione \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \).
Mi piacerebbe avere una dimostrazione completa. Qualcuno riesce a pubblicarne una qui, o ad accennarne una bozza?
Io purtroppo non so da dove cominciare.

Perché non provi a costruirla da solo?

Nel caso ti si dà una mano.

[zagamid]

"dissonance":A rileggere vedo che forse la domanda era proprio su quello che io ho chiamato "esercizio standard".

Infatti, è proprio da quell'esercizio che è nata la curiosità.

"gugo82":
Perché non provi a costruirla da solo?

Nel caso ti si dà una mano.

L'unica idea che mi è venuta è l'induzione.
Ho scarabocchiato il seguente tentativo di dimostrazione.

Per semplicità, tento di dimostrare il caso in cui \(\displaystyle f \) (il termine noto) è identicamente nulla, ovvero il caso delle equazioni lineari omogenee.
Se non mi sbaglio, la questione richiede quindi di dimostrare che \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \), date le seguenti ipotesi:

\(\displaystyle y:]a,b[\rightarrow \mathbb{R},\) derivabile \(\displaystyle n \) volte, \(\displaystyle 0 \notin ]a,b[ \);
\(\displaystyle u:]ln(a),ln(b)[\rightarrow \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle u(t)=y(e^t)\ \forall t \in ]ln(a),ln(b)[ \);

la seguente espressione è vera:

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{n}(a_i\cdot x^{i}\cdot y^{(i)}(x))=0\ \ \ \forall x \in ]a,b[\ \ \) se e solo se \(\displaystyle \ \ \sum_{i=0}^{n}(b_i\cdot u^{(i)}(t))=0\ \ \ \forall t \in ]ln(a),ln(b)[\),

con \(\displaystyle \ a_i,\ b_i \in \mathbb{R} \), \(\displaystyle a_n=b_n=1 \).

Caso \(\displaystyle n=0: \)
Ricordando che per ipotesi \(\displaystyle a_0=b_0=1 \), si avrebbe che

\(\displaystyle x^{0}\cdot y(x)=0\ \ \ \forall x \in ]a,b[\ \ \) se e solo se \(\displaystyle \ \ u(t)=0\ \ \ \forall t \in ]ln(a),ln(b)[\),

che è palesemente vero per definizione di \(\displaystyle y \) e di \(\displaystyle u \).

Se dunque è vera la tesi per un certo \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \), allora la tesi per \(\displaystyle n+1 \) risulta essere

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{n+1}(a_i\cdot x^{i}\cdot y^{(i)}(x))=0\ \ \ \forall x \in ]a,b[\ \ \) se e solo se \(\displaystyle \ \ \sum_{i=0}^{n+1}(b_i\cdot u^{(i)}(t))=0\ \ \ \forall t \in ]ln(a),ln(b)[\),

che è equivalente a

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{n}(a_i\cdot x^{i}\cdot y^{(i)}(x)) + a_{n+1}\cdot x^{n+1}\cdot y^{(n+1)}(x)=0\ \ \ \forall x \in ]a,b[\ \ \)

se e solo se

\(\displaystyle \ \ \sum_{i=0}^{n}(b_i\cdot u^{(i)}(t)) + b_{n+1}\cdot u^{(n+1)}(x)=0\ \ \ \forall t \in ]ln(a),ln(b)[\).

A questo punto speravo di potermi liberare in qualche modo dei primi \(\displaystyle n \) termini della somma per poter quindi confrontare direttamente i termini \(\displaystyle (n+1) \)esimi, ma a quanto pare non è possibile, quindi mi sono bloccato. Credo che bisognerebbe agire in altro modo per confrontare le due somme nel caso a \(\displaystyle n+1 \) termini.

Tuttavia sono convinto che in ogni caso l'induzione non sia un buon metodo (in fatto di praticità) per dimostrare una cosa del genere. Esiste probabilmente una via più breve.
Sospetto infatti, dopo aver dato un'occhiata al materiale proposto da dissonance (che ringrazio enormemente per la qualità dei post), che esista qualche modo per trasformare un'equazione nell'altra al volo tramite le proprietà del cambio di variabili, ma non capisco come.

[gugo82]

Per ottenere ciò che vuoi, ti basta sapere qual è l'effetto del cambiamento di variabile sugli operatori di derivazione; quindi devi fare induzione sull'ordine di derivazione per capire cosa accade agli operatori.

Come suggerito dal testo, e dal sig. Eulero, poni:
\[
x=e^t\quad \Rightarrow\quad t=\ln x
\]
così hai:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} x} &= \frac{\text{d} t}{\text{d} x}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} \\
&= \frac{1}{x}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\\
\frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2} &= \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{\text{d}}{\text{d} x}\right]\\
&= \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{1}{x}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\right]\\
&= - \frac{1}{x^2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} + \frac{1}{x}\ \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\right]\\
&= - \frac{1}{x^2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} + \frac{1}{x^2}\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2}\\
\end{split}
\]
da cui ricavi le seguenti due uguaglianze operatoriali:
\[
\begin{split}
x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} &= \frac{\text{d}}{\text{d} t} \\
x^2\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2} &= \frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} - \frac{\text{d}}{\text{d} t}\; .
\end{split}
\]
Ti fai allora dell'idea che ogni operatore del tipo \(x^k\ \frac{\text{d}^k}{\text{d} x^k}\) si può esprimere come combinazione lineare degli operatori di derivazione \(\frac{\text{d}}{\text{d} t}\), \(\frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2}\), ..., \(\frac{\text{d}^k}{\text{d} t^k}\).
Questo si prova per induzione: la base dell'induzione è già acquisita; ipotizzando che:
\[
x^k\ \frac{\text{d}^k}{\text{d} x^k} = \sum_{i=1}^k \alpha_i^k\ \frac{\text{d}^i}{\text{d} t^i}
\]
hai pure (poiché \(x=e^t\)):
\[
\frac{\text{d}^k}{\text{d} x^k} = e^{-kt}\ \sum_{i=1}^k \alpha_i^k\ \frac{\text{d}^i}{\text{d} t^i}\; ;
\]
ma allora:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}^{k+1}}{\text{d} x^{k+1}} &= \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{\text{d}^k}{\text{d} x^k}\right]\\
&= e^{-t}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\left[ e^{-kt}\ \sum_{i=1}^k \alpha_i^k\ \frac{\text{d}^i}{\text{d} t^i}\right]\\
&= e^{-t}\ \left( -k\ e^{-kt}\ \sum_{i=1}^k \alpha_i^k\ \frac{\text{d}^i}{\text{d} t^i} + e^{-kt} \sum_{i=1}^k \alpha_i^k\ \frac{\text{d}^{i+1}}{\text{d} t^{i+1}} \right)\\
&= e^{-(k+1)t}\ \left( \sum_{i=1}^k -k\ \alpha_i^k\ \frac{\text{d}^i}{\text{d} t^i} + \sum_{i=2}^{k+1} \alpha_{i-1}^k\ \frac{\text{d}^i}{\text{d} t^i} \right)\\
&= e^{-(k+1)t}\ \left( -k\ \alpha_1^k\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} + \sum_{i=2}^k \big( \alpha_{i-1}^k -k\ \alpha_i^k\big)\ \frac{\text{d}^i}{\text{d} t^i} + \alpha_k^k\ \frac{\text{d}^{k+1}}{\text{d} t^{k+1}} \right)
\end{split}
\]
da cui segue:
\[
x^{k+1}\ \frac{\text{d}^{k+1}}{\text{d} x^{k+1}} = \sum_{i=1}^{k+1} \alpha_i^{k+1}\ \frac{\text{d}^i}{\text{d} t^i}\; ,
\]
con:
\[
\begin{cases}
\alpha_1^{k+1} = -k\ \alpha_1^k\\
\alpha_i^{k+1} = \alpha_{i-1}^k -k\ \alpha_i^k &\text{, per } i=2,3,\ldots ,k\\
\alpha_{k+1}^{k+1} = \alpha_k^k &\; ,
\end{cases}
\]
che è ancora una combinazione lineare dei primi \(k+1\) operatori di derivazione rispetto a \(t\). Questo termina il ragionamento per induzione.

Detto ciò, sai che ogni operatore del tipo:
\[
x^k\ \frac{\text{d}^k}{\text{d} x^k}
\]
si esprime come combinazione lineare dei primi \(k\) operatori di derivazione rispetto a \(t\); conseguentemente, ogni operatore differenziale \(\mathcal{E}\) che si esprima come combinazione lineare di operatori del tipo \(x^k\ \frac{\text{d}^k}{\text{d} x^k}\) si trasforma in un operatore \(\mathcal{L}\) una combinazione lineare di operatori di derivazione rispetto alla variabile \(t\), ossia in un operatore differenziale lineare a coefficienti costanti.
Dato che l'equazione di Eulero è una cosa del tipo:
\[
\mathcal{E}[y(x)] = f(x)\; ,
\]
la trasformazione di variabile muta l'equazione in:
\[
\mathcal{L}[u(t)] = f(e^t)
\]
in cui \(u(t)=y(e^t)\), che è l'equazione lineare che cercavi.

Ovviamente, non escludo errori nei conti dato che l'ultima volta che li ho scritti così è quando ho preparato Analisi II una decina e più di anni fa (ti prego di controllarli); ma il ragionamento è questo.