Equazioni differenziali di Eulero

[avmarshall]

salve a tutti.
sto trovando difficoltà a capire i passaggi che si fanno per risolvere le eq diff di Eulero. Sarà una banalità ma sinceramente non sto riuscendo a raccapezzarmi! Vediamo un esempio pratico in modo da farvi capire la mia difficoltà:
$ x^2y''-3xy'+y=0 $
faccio la seguente sostituzione
$ x=e^t $
fatto questo iniziano le mie difficoltà perchè ponendo:
$ y(e^t)=z(t) $
ci si calcola
$ z'(t),z''(t) $
ma sta proprio qui il mio problema perchè non so che devo derivare per ottenere $ z'(t),z''(t) $ !
io so che
$ y(e^t)=z(t) $
ma non riesco a continuare.
ho provato a sostituire al posto di x $ e^t $ in modo da avere $ y(e^t) $ ma quello che ottengo non lo so derivare.
potreste aiutarmi?
grazie mille

[gugo82]

Puoi vederla in due modi.

Il primo è il seguente.
Fai il cambiamento di variabile \(t=\ln x\); allora chiama \(z(t)\) l'unica funzione tale che \(z(t)=y(e^t)\) ossia \(y(x)=z(\ln x)\).
A questo punto hai (denotando coll'apice la derivata rispetto a \(x\) e col pallino la derivata rispetto a \(t\)):
\[
y^\prime (x) =\frac{\text{d}}{\text{d} x} z(\ln x) =\dot{z}(\ln x)\ \frac{1}{x} \qquad \Rightarrow\qquad xy^\prime (x) =\dot{z} (t)\Big|_{t=\ln x}
\]
ed anche:
\[
y^{\prime \prime} (x) =\frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \dot{z}(\ln x)\ \frac{1}{x}\right] = \ddot{z}(\ln x) \frac{1}{x^2} -\dot{z}(\ln x)\ \frac{1}{x^2} \qquad \Rightarrow \qquad x^2y^{\prime \prime} (x) =\ddot{z} (t)-\dot{z} (t)\Big|_{t=\ln x}
\]
quindi il primo membro della EDO si riscrive:
\[
x^2\ y^{\prime \prime} (x)-3x\ y^\prime (x)+ y(x)= \ddot{z} (t)-\dot{z} (t) -3\dot{z} (t)+z(t)\Big|_{t=\ln x}
\]
e la EDO diviene:
\[
\ddot{z} (t)-4\dot{z} (t)+z(t)=0\; .
\]

L'altro modo è il seguente.
Vogliamo fare il cambiamento di variabile \(t=\ln x\), quindi ci dobbiamo porre il problema di come si trasformano gli operatori di derivazione \(\frac{\text{d}}{\text{d} x},\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2}\) passando alla nuova variabile.
Si ha:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} x} &= \frac{\text{d} t}{\text{d} x}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} \\
&= \frac{1}{x}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}
\end{split}
\]
e
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2} &= \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left( \frac{\text{d}}{\text{d} x}\right) \\
&=\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left( \frac{1}{x}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}\right) \\
&= -\frac{1}{x^2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t} +\frac{1}{x}\ \frac{\text{d}}{\text{d} x}\frac{\text{d}}{\text{d} t} \\
&= \frac{1}{x^2}\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} -\frac{1}{x^2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} t}
\end{split}
\]
quindi a livello "operatoriale" hai le uguaglianze:
\[
x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} =\frac{\text{d}}{\text{d} t} \qquad \text{e} \qquad x^2\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2} =\frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} -\frac{\text{d}}{\text{d} t}\; .
\]
Dato che la tua EDO si può scrivere "operatorialmente" come:
\[
\left( x^2\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2} -3 x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} +1\right) y(x) =0
\]
usando le relazioni precedenti per passare alla variabile \(t\) otteniamo:
\[
\left( \frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} -\frac{\text{d}}{\text{d} t} -3\frac{\text{d}}{\text{d} t} +1\right) y(t) =0
\]
ossia:
\[
\left( \frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} -4\frac{\text{d}}{\text{d} t} +1\right) y(t) =0
\]
come avevamo trovato già per altra via.

[avmarshall]

grazie mille, adesso mi è chiaro.