Equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee

[smaug1]

Salve, sto preparando l'esame di meccanica delle strutture, e in alcuni passaggi della teoria mi servirebbe ripassare qualcosina sulle equazioni differenziali, specie quelle che ho scritto nel titolo, conoscete un PDF o un riferimento gratuito e veloce da consultare?

Grazie mille

[Luca9712]

http://www.emattei-urbino.it/meccanica/docs/2191.pdf

[smaug1]

$\ddot x_3 + w^2\ x_3 = - 2 \beta\ \cos (w\ t)$

La soluzione generale dell'omogenea è $x_3 = C_1\ \cos (w\ t) + C_2\ \sin (w\ t)$

Mentre per trovare la soluzione particolare come faccio se il termine a secondo membro non è un polinomio?

[Luca9712]

Cioè ti è rimasta da capire la tipologia:
$y'' + 3y' = 2sen(x)$

[smaug1]

nel link non c'è o mi sbaglio?

[Luca9712]

In un caso del genere per determinare una soluzione particolare dell'equazione differenziale

$y''(x)+3y'(x)=2\sin(x)$

devi sostituire una soluzione della forma

$y(x)=a\sin(x)+b\cos(x)$

Calcolare la derivata prima

$y'(x)=a\cos(x)-b\sin(x)$

Calcolare la derivata seconda

$y''(x)=-a\sin(x)-b\cos(x)$

e sostituire le derivate nell'equazione differenziale per determinare i coefficienti $a,b$:

$-a\sin(x)-b\cos(x)+3a\cos(x)-3b\sin(x)=2\sin(x)$

ossia

$(-a-3b)\sin(x)+(-b+3a)\cos(x)=2\sin(x)$

Dal confronto tra i due membri, deve necessariamente essere

$-a-3b=2$

$-b+3a=0$

da cui

$a=-1/5\mbox{ ; }b=-3/5$

e quindi una soluzione particolare è data da

$y(x)=-\frac{1}{5}\sin(x)-\frac{3}{5}\cos(x)$

[smaug1]

grazie mille

[Luca9712]

Prego ed in bocca al lupo.