Equazioni differenziali del prim'ordine e funzione integrale
Ciao, ho un problema riguardo alla comprensione del seguente passaggio circa l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare del prim'ordine e del suo problema di Cauchy associato:
L'integrale generale dell'equazione [tex]\frac{d}{dx}y(x)+a(x)y(x)=b(x)[/tex] si può scrivere nel seguente modo:
[tex]y(x)=ce^{-A(x)}+e^{-A(x)}\int b(x)e^{A(x)}dx[/tex]
laddove [tex]A(x)[/tex] è una primitiva fissata una volta per tutte della funzione [tex]a(x)[/tex].
Quando si passa al problema di Cauchy associato, con condizione iniziale [tex]y(x_0)=y_0[/tex], si arriva a dire che
[tex]y(x)=y_0e^{-A(x)}+e^{-A(x)}\int_{x_0}^x b(t)e^{A(t)}dt[/tex]
Perché [tex]y_0[/tex] sostituisce la c e si passa alla funzione integrale? Concettualmente è chiaro, bisogna considerare l'intorno del punto [tex]x_0[/tex] per avere la soluzione del problema di Cauchy, però non mi torna il passaggio formale, cioè come si passa dalla prima alla seconda!
L'integrale generale dell'equazione [tex]\frac{d}{dx}y(x)+a(x)y(x)=b(x)[/tex] si può scrivere nel seguente modo:
[tex]y(x)=ce^{-A(x)}+e^{-A(x)}\int b(x)e^{A(x)}dx[/tex]
laddove [tex]A(x)[/tex] è una primitiva fissata una volta per tutte della funzione [tex]a(x)[/tex].
Quando si passa al problema di Cauchy associato, con condizione iniziale [tex]y(x_0)=y_0[/tex], si arriva a dire che
[tex]y(x)=y_0e^{-A(x)}+e^{-A(x)}\int_{x_0}^x b(t)e^{A(t)}dt[/tex]
Perché [tex]y_0[/tex] sostituisce la c e si passa alla funzione integrale? Concettualmente è chiaro, bisogna considerare l'intorno del punto [tex]x_0[/tex] per avere la soluzione del problema di Cauchy, però non mi torna il passaggio formale, cioè come si passa dalla prima alla seconda!
Risposte
Partendo da questa $y'+ay=b$ nello scrivere gli integrali ottieni (con il dato iniziale e osservando che il primo membro risulta uguale a $e^{-A}\cdot (y e^A)'$, dove $A=\int a$)
$\int_{x_0}^x (y(t)\cdot e^{A(t)})'\ dt=\int_{x_0}^x b(t)\cdot e^{A(t)}\ dt$
e quindi
$y(x)\cdot e^{A(x)}-y_0\cdot e^{A_0}=\int_{x_0}^x b(t)\cdot e^{A(t)}\ dt$
da cui ancora
$y(x)=e^{-A(x)}[c_0+\int_{x_0}^x b(t)\cdot e^{A(t)}\ dt]$
dove $c_0=y_0\cdot e^{A(x_0)}$.
$\int_{x_0}^x (y(t)\cdot e^{A(t)})'\ dt=\int_{x_0}^x b(t)\cdot e^{A(t)}\ dt$
e quindi
$y(x)\cdot e^{A(x)}-y_0\cdot e^{A_0}=\int_{x_0}^x b(t)\cdot e^{A(t)}\ dt$
da cui ancora
$y(x)=e^{-A(x)}[c_0+\int_{x_0}^x b(t)\cdot e^{A(t)}\ dt]$
dove $c_0=y_0\cdot e^{A(x_0)}$.
Non ho capito con che criterio hai scelto gli estremi di integrazione, potresti essere più esplicito?
Non ho usato nessun "criterio": quello che faccio è scrivere la funzione integrale associata all'equazione in modo da poter utilizzare il Teorema Fondamentale del calcolo.
Ok ho capito, ti ringrazio.
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