Equazioni differenziali alle derivate parziali.Curva caratteristica e condizioni di raccordo?

[ymod19]

Salve a tutti, sono nuovo su questo forum, spero di aver scelto la sezione giusta. Devo risolvere il seguente problema
ut-7uxx=0 dove t>0 0
u(x,0)=f1(x)=2sin($5x/4$) - 3sin($3x/2$)
u(o,t)=u(8pi,t)=0

Inoltre devo verificare se sono verificate le condizioni di raccordo ed illustrare brevemente che cosa sono e determinare le curve caratteristiche

[peppe.carbone.90]

Ciao e benvenuto.
Purtroppo non è la sezione giusta: qui siamo in Ingegneria, mentre il tuo quesito mi pare sia più adatto per la sezione di Analisi matematica.
Sposto lì il messaggio ed inoltre ti raccomando di leggere il regolamento del forum e di scrivere le formule tramite l'apposito editor di cui trovi una guida nel box rosa in alto.

Ciao.

[gugo82]

@ ymod19: Cosa hai provato?

[D4lF4zZI0]

Un consiglio: essendo un problema nella striscia per l'equazione del calore con condizioni al contorno nulle, cerca la soluzione del tipo:

$ u(x,t)=f(x)g(t) $

[ymod19]

"D4lF4zZI0":Un consiglio: essendo un problema nella striscia per l'equazione del calore con condizioni al contorno nulle, cerca la soluzione del tipo:

$ u(x,t)=f(x)g(t) $

si da quello che ho capito sono equazioni del calore

Salve, io sto ad ingegneria e quest'esercizio è in un esame del secondo anno, perciò l'ho inserito qua.....Spero che scrivo bene le formule

Per provare le condizioni di raccordo ho proseguito nel seguente modo
\(\f(0)=0 e f"(0)=0 \)

Posso svilupparlo in serie di fuorier di soli seni quindi

\(\u(x,t)=\Sigma b_n(t)sin(n\Pi/l) \)

Sapendo che

$ u_t (x,t)=sum((b_n(t))' sin(npi/lx) $

e

$ u_(x x) (x,t)=sum((b_n(t))" (npi/l)^2 sin(npi/lx) $

sostituisco nel eq. di partenza e ottengo un equazione differenziale del I°ordine

\(\lampda= -$(7n^2)/64$ \)

quindi

$ u(x,t)=sum(k_n e^(7/64n^2t)sin(n/8x) $

$ u(x,0)=sum(k_nsin(n/8x) $

Mi devo trovare kn
Qui mi sono bloccato...Fino a qua ho fatto bene o l'esercizio è sbagliato???

[D4lF4zZI0]

Poichè è lungo da postare tutto l'esercizio, garantisco che entro le 12/13 di domani te lo posto tutto o cmq la parte fondamentale da cui poi puoi procedere da solo

[gugo82]

Il problema è un classico problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore in una striscia, cioé:
\[
\begin{cases}
u_t (x,t) = 7\ u_{xx}(x,t) &\text{, in } ]0,8\pi[\times ]0,\infty[\\
u(x,0) = f(x) &\text{, in } [0,8\pi]\\
u(0,t) = u(8\pi,t)=0 &\text{, in } [0,\infty[\; ,
\end{cases}
\]
con \(f(x)=2\ \sin (\tfrac{5}{4}\ x) + 3\ \sin (\tfrac{3}{2}\ x)\).

Separando le variabili, i.e. cercando soluzioni del tipo \(u(x,t)=X(x)\ T(t)\), si trova che le funzioni \(X\) e \(T\) hanno da soddisfare l'equazione:
\[
X(x)\ \dot{T}(t) = 7\ X^{\prime \prime} (x)\ T(t)
\]
la quale equivale alla coppia di EDO:
\[
\dot{T}(t) - 7a\ T(t) =0 \qquad \text{e} \qquad X^{\prime \prime}(x) - a\ X(x)=0
\]
in cui \(a\) è un'opportuna costante di separazione.
Dalle condizioni sui lati illimitati della striscia seguono le condizioni:
\[
X(0)=X(8\pi)=0\; ,
\]
ergo \(X\) deve soddisfare il problema al bordo:
\[
\begin{cases}
X^{\prime \prime} (x) -a\ X(x) =0 &\text{, in } ]0,8\pi[\\
X(0)=0\\
X(8\pi)=0\; .
\end{cases}
\]
Tale problema ha soluzioni non nulle solo se \(a<0\); in tal caso, posto per comodità \(a=-\alpha^2\) con \(\alpha >0\), le soluzioni sono del tipo:
\[
X(x) = A\ \cos (\alpha x) + B\ \sin (\alpha x)
\]
ed esse soddisfano le condizioni al bordo \(X(0)=0=X(8\pi)\) solo se:
\[
\begin{cases}
A=0\\
A\ \cos (8\alpha \pi) + B\ \sin (8\alpha \pi) =0
\end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad B\ \sin (8\alpha \pi) =0\; ;
\]
l'ultima equazione ha soluzione \(B\neq 0\) solo se \(8\alpha \pi =n\pi\) con \(n\in \mathbb{N}\) ed \(n\geq 1\) (ricorda che \(\alpha >0\)), quindi solo se \(\alpha =\alpha_n=\frac{n}{8}\); tali soluzioni sono del tipo:
\[
X_n(x) = B_n\ \sin (\tfrac{n}{8}\ x)
\]
con \(B_n\in \mathbb{R}\) ed \(n\geq 1\).
Il valore della costante di separazione corrispondente ad \(\alpha =\alpha_n\) è \(a=a_n=-\alpha_n^2=- \frac{n^2}{64}\), sicché ad ogni \(X_n\) si può associare una soluzione della EDO \(\dot{T}(t)-7a_n\ T(t)=0\) che è del tipo:
\[
T_n(t) = C_n\ e^{-\frac{7n^2}{64}\ t}\; ,
\]
con \(C_n\in \mathbb{R}\) ed \(n\geq 1\).
Conseguentemente, facendo collassare le costanti arbitrarie in un'unica costante, la soluzione basica a variabili separate del problema è una funzione del tipo:
\[
u_n(x,t) = B_n\ e^{-\frac{7n^2}{64}\ t}\ \sin (\tfrac{n}{8}\ x)\; .
\]
Ciò significa che la soluzione del problema originario può essere determinata sotto forma di serie esponenziale-trigonometrica, i.e. del tipo:
\[
u(x,t)= \sum_{n=1}^\infty B_n\ e^{-\frac{7n^2}{64}\ t}\ \sin (\tfrac{n}{8}\ x)\; .
\]
Visto che il dato iniziale del problema si riscrive:
\[
\begin{split}
f(x) &= 2\ \sin (\tfrac{10}{8}\ x) + 3\ \sin (\tfrac{12}{8}\ x) \\
&= 2\ X_{10}(x) + 3\ X_{12}(x)\; ,
\end{split}
\]
è evidente che la soluzione del problema si ottiene dalla serie precedente prendendo \(B_{10}=2\), \(B_{12}=3\) e \(B_n=0\) per ogni \(n\neq 10, 12\), quindi essa è:
\[
u(x,t) = 2\ e^{-\frac{175}{16}\ t}\ \sin (\tfrac{5}{4}\ x) + 3\ e^{-\frac{63}{4}\ t}\ \sin (\tfrac{3}{2}\ x)\; .
\]
Nota il decadimento esponenziale nel tempo.

[D4lF4zZI0]

Premessa 1: chiedo scusa ai matematici per le imprecisioni che commetterò nel risolvere l'esercizio, ma sono un ingegnere e mi perdonerete
Premessa 2: in tutto lo svolgimento darò per scontato di ricercare una soluzione " non banale " al problema

Dunque, veniamo a noi; il problema assegnatoti è un problema nella striscia per l'equazione del calore con condizioni al contorno omogenee alla Dirichlet.
Supponiamo di cercare una soluzione del tipo $ u(x,t)=X(x)y(t) $ che, se sostituita nell'equazione del calore, restituisce:
$ X(x)dot(y)(t)-7ddot(X)(x)y(t)=0 rArr (X(x)dot(y)(t))/(X(x)y(t))-(7ddot(X)(x)y(t))/(X(x)y(t))=0 rArr
(dot(y)(t))/(y(t))-(7ddot(X)(x))/(X(x))=0 rArr (dot(y)(t))/(7y(t))=(ddot(X)(x))/(X(x))=- lambda^2 $
Da cui si ottiene il seguente sistema:
$ { ( dot(y)(t)+7lambda^2y(t)=0 ),( ddot(X)(x)+lambda^2X(x)=0 ):} $
Con riferimento alla seconda equazione $ ddot(X)(x)+lambda^2X(x)=0 $, per trovare le condizioni iniziali, si sfruttano i dati del problema; infatti:
$ { ( u(0,t)=0=X(0)y(t)rArrX(0)=0 ),( u(8pi ,t)=0=X(8pi )y(t)rArrX(8pi )=0 ):} $
Dunque, il problema da risolvere è:
$ { ( ddot(X)(x)+lambda^2X(x)=0 ),( X(0)=0 ),( X(8pi )=0 ):} $
il cui integrale generale si scrive:
$ X(x)=Acos(lambdax)+ Bsen(lambdax) $
Imponendo le due condizioni iniziali, si ha:
$ { ( X(0)=0=Acos(lambda0)+ Bsen(lambda0) ),( X(8pi)=0=Acos(lambda8pi)+ Bsen(lambda8pi) ):} $
Il sistema a cui si è giunti è un sistema algebrico omogeneo che ammetterà soluzione non nulla se e solo se il determinante dei coefficienti è nullo e cioè quando $ lambda=n/8 ,n=1,2,3,... $
A questo punto, quindi, si può supporre che:
$ u(x,t)=sum_(n=1,...+oo)y_n(t)sen(n/8x) $
e, cioè, che anche la funzione $ y(t) $ dipenda dall'indice $ n $
Andando a sostituire la $ u(x,t) $ nell'equazione del calore, si ottiene:
$ sum_(n=1,...+oo)dot(y_n)(t)sen(n/8x)+sum_(n=1,...+oo)y_n(t)7/64n^2sen(n/8x)=0rArr
dot(y_n)(t)+7/64n^2y_n(t)=0 $
Per trovare la condizione iniziale di tale equazione differenziale, sfruttiamo il dato del problema:
$ u(x,0)=2sen(5/4x)-3sen(3/2x) $
Tale dato, supponendo sia sviluppabile in serie di Fourier, lo si può vedere come:
$ 2sen(5/4x)-3sen(3/2x)=sum_(n =1,...+oo)Nsen(n/8x) $
con:
$ N=2/(8pi)int_(0)^(8pi) [2sen(5/4x)-3sen(3/2x)]sen(n/8x) dx $
Con tale posizione, si ha:
$ u(x,0)=2sen(5/4x)-3sen(3/2x)=sum_(n=1,...+oo)Nsen(n/8x)=sum_(n=1,...+oo)y_n(0)sen(n/8x)$
$ rArr y_n(0)=N $
dunque, il problema da risolvere è:
$ { ( dot(y_n)(t)+7/64n^2y_n(t)=0 ),( y_n(0)=N ):} $
il cui integrale si scrive:
$ y_n(t)=Ne^(-7/64n^2t) $
Dunque, in conclusione, la soluzione del problema è:
$ u(x,t)=sum_(n =1,...+oo)Ne^(-7/64n^2t)sen(n/8x) $
la quale, come facilmente si vede, soddisfa tanto alle condizioni ai limiti tanto all'equazione del calore assegnata e, dunque, per il teorema di unicità è la soluzione del problema

[gugo82]

@ D4lF4zZIO: Il metodo è quello giusto; l'unico "errore" sta nel fatto che il fattore \(7\) (che poi vorrebbe essere la conducibilità termica) va accorpato alla EDO del primo ordine per la parte della soluzione che compete alla variabile "temporale" \(t\), e non a quella che compete alla variabile "spaziale" \(x\). In questo modo, infatti, si semplificano abbastanza i conti successivi.

Tuttavia, la considerazione che convenga accorpare il fattore \(7\) alla variabile "temporale" non viene fuori solo a posteriori (perché così i conti sono più facili), ma dipende proprio dalla struttura della PDE.
Prendi l'equazione del calore con una generica conducibilità termica \(c^2\) con \(c>0\):
\[ \tag{1}
u_t(x,t) - c^2\ u_{xx}(x,t)=0 \qquad \text{, in } ]0,X[\times ]0,\infty[
\]
ed immagina di fare il cambiamento di variabile "temporale":
\[
\tau =c^2\ t\;
\]
sotto tale cambiamento di variabile l'intervallo dei "tempi" rimane \(]0,\infty[\), mentre l'operatore di derivazione rispetto a \(t\) si muta in:
\[
\frac{\partial}{\partial t} = \frac{\text{d} \tau}{\text{d} t}\ \frac{\partial}{\partial \tau} = c^2\ \frac{\partial}{\partial \tau}\; .
\]
L'equazione assegnata si riscrive nelle variabili \(x\) e \(\tau\) come:
\[
\cancel{c^2}\ u_\tau (x,\tau) - \cancel{c^2} u_{xx}(x,\tau) =0
\]
che è l'equazione del calore in \(]0,X[\times ]0,\infty[\) scritta in forma canonica.
Quindi, riscalando i tempi secondo la conducibilità termica si riesce sempre a ricondurre l'equazione (1) all'equazione del calore canonica.

[D4lF4zZI0]

Hai ragione nn me ne sono accorto nella fretta. Ho corretto subito ( la fretta gioca brutti scherzi, scusate )

[ymod19]

Ma il metodo illustrato da @gugo82 e il mio sono equivalenti???? Mi sembre che arriviamo alla stessa soluzione cioè :

\[ u(x,t)= \sum_{n=1}^\infty B_n\ e^{-\frac{7n^2}{64}\ t}\ \sin (\tfrac{n}{8}\ x)\; . \]

Giusto???

L'unica cosa che non ho capito è la seguente...

\[ f(x)= 2\ \sin (\tfrac{10}{8}\ x) + 3\ \sin (\tfrac{12}{8}\ x) = 2\ u_{10}(x) + 3\ u_{12}(x)\; , \]\

Perchè a destra dell'uguale ci sono quei valori, cioè

= \ 2\ u_{10}(x) + 3\ u_{12}(x)\; ,

Perchè hai messo 2 valori, perchè

f(x)=2\ \sin (\tfrac{5}{4}\ x) + 3\ \sin (\tfrac{3}{2}\ x)

è formato dalla somma di 2 seni??

[gugo82]

@ ymod19: Scusa, c'era un piccolo errore (che ora ho corretto), cioé al terzo membro non ci dovevano essere \(u_{10}\) ed \(u_{12}\), bensì \(X_{10}\) ed \(X_{12}\).

Insomma, hai:
\[
f(x) = 2\ \sin (\tfrac{5}{4}\ x) + 3\ \sin (\tfrac{3}{2}\ x)
\]
ma, dato che \(\frac{5}{4} = \tfrac{10}{8}\) e \(\tfrac{3}{2}=\tfrac{12}{8}\), ricordando la definizione delle \(X_n\) la tua \(f\) si riscrive:
\[
\begin{split}
f(x) &= 2\ \underbrace{\sin (\tfrac{10}{8}\ x)}_{=X_{10}(x)} + 3\ \underbrace{\sin (\tfrac{12}{8}\ x)}_{=X_{12}(x)}\\
&= 2\ X_{10}(x) +3\ X_{12}(x)\; .
\end{split}
\]

Per quanto riguarda il metodo, abbiamo fatto esattamente gli stessi conti.
L'unica cosa è che ti sei perso un segno \(-\) negli esponenti degli esponenziali.
La determinazione dei coefficienti di Fourier \(k_n\) nel caso generale si fa con gli integrali; però, nel nostro caso particolare, il dato iniziale \(f\) era già sviluppato in serie di Fourier (bastava riscriverlo come ho fatto più sopra) e quindi i coefficienti si trovavano "a occhio".

Per le condizioni di raccordo, penso che tu debba controllare se il dato iniziale ed i dati al bordo si raccordano con continuità nei vertici della striscia, cioé nei punti \((0,0)\) e \((8\pi ,0)\).
Quindi, visto che:
\[
f(0)=0=f(8\pi)
\]
e che il dato lungo i lati illimitati della striscia è identicamente nullo, sei a posto.

[ymod19]

è meno

quindi

\begin{split} f(x) &= 2\ \underbrace{\sin (\tfrac{10}{8}\ x)}_{=X_{10}(x)} - 3\ \underbrace{\sin (\tfrac{12}{8}\ x)}_{=X_{12}(x)}\\ &= 2\ X_{10}(x) -3\ X_{12}(x)\; . \end{split}\

Risultato finale

]\[ u(x,t) = 2\ e^{-\frac{175}{16}\ t}\ \sin (\tfrac{5}{4}\ x) - 3\ e^{-\frac{63}{4}\ t}\ \sin (\tfrac{3}{2}\ x)\; . \]

[ymod19]

grazie mille @gugo82 e @D4lF4zZI0 ...
si ho notato il meno negli esponenziali e l'ho corretto

Ma la curva caratteristica è il risultato finale o è qualche altra cosa???

[gugo82]

Il consiglio, almeno sulle definizioni, è sempre il solito: vai guardare il tuo testo di riferimento.

In generale, una curva \((x(s),t(s))\) del piano \(Oxt\) è un curva caratteristica per l'operatore differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti:
\[
\mathcal{L} = a\ u_{xx} + 2b\ u_{xt} + c\ u_{tt} + d\ u_x + e\ u_t +f\ u
\]
se e solo se il vettore normale alla curva è isotropo per la matrice simmetrica associata alla parte del secondo ordine di \(\mathcal{L}\), cioé se, detti:
\[
L:= \begin{pmatrix} a & b \\ b & c
\end{pmatrix}
\]
la matrice associata alla parte del secondo ordine di \(\mathcal{L}\) e \(\mathbf{n}(s)=(t^\prime (s), -x^\prime (s))\) il vettore normale alla curva \((x(s),t(s))\), risulta:
\[ \tag{C}
\langle L\ \mathbf{n}(s), \mathbf{n}(s)\rangle =0
\]
(qui \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) è il prodotto scalare standard). La (C) è detta equazione delle caratteristiche.
Nel caso in esame hai:
\[
L=\begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
quindi l'equazione delle caratteristiche è:
\[
-7\ (t^\prime (s))^2 =0
\]
ed è risolta se \(t(s)=\text{costante}\).
Conseguentemente, le curve caratteristiche dell'operatore \(u_t-7u_{xx}\) sono tutte e sole le curve che giacciono su segmenti paralleli all'asse "spaziale" \(x\).

In particolare, nota che il pezzo di frontiera portante il dato iniziale \(f\) è una curva caratteristica...