Equazioni differenziali a variabili separabili di ordine superiore al primo?

[Gennaro90.]

Salve a tutti, vorrei chiedervi se esistono equazioni differenziali a variabili separabili di ordine superiore al primo.
In caso negativo, come mai ad esempio l'equazione differenziale y''(t)=0 si risolve anche separando le variabili ed integrando per due volte consecutive?
Vi ringrazio per il tempo dedicatomi.

[gugo82]

"gennaro91":Salve a tutti, vorrei chiedervi se esistono equazioni differenziali a variabili separabili di ordine superiore al primo.

Le EDO a variabili separabili sono tutte del primo ordine.

Tuttavia, esistono equazioni d'ordine superiore che si possono ricondurre a variabili separabili... Ad esempio, una EDO del tipo:
\[
y^{(n+1)}(x) = a(x)\ b\left( y^{(n)} (x)\right)
\]
si può riscrivere, usando l'incognita ausiliaria $u(x) := y^{(n)}(x)$, come:
\[
u^\prime (x) = a(x)\ b\left( u(x)\right)\; ,
\]
che è del primo ordine a variabili separabili.

"gennaro91":In caso negativo, come mai ad esempio l'equazione differenziale y''(t)=0 si risolve anche separando le variabili ed integrando per due volte consecutive?

Beh, questa EDO rientra in quelle che si possono risolvere per quadrature consecutive, senza separare alcunché.

In generale, una EDO del tipo:
\[
y^{(n)} (x) = f(x)
\]
(che equivale a determinare le primitive di ordine $n$ della $f$) si risolve operando $n$ quadrature consecutive sulla $f$, senza separare alcunché.
Anzi, è possibile dimostrare (e si fa per induzione) che la soluzione generale del problema si può ottenere anche solo con un'unica integrazione, mediante la formula:
\[
y (x) = p_{n-1} (x) + \int \frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f(t)\ \text{d} t\; ,
\]
in cui $p_{n-1}(x) = c_0 + c_1x+\cdots + c_{n-1} x^{n-1}$ è il generico polinomio di grado $n-1$ (soluzione della EDO omogenea $y^{(n)} (x)=0$ associata alla EDO completa).