EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI
Ho da proporvi delle semplicissime equazioni differenziali a variabili separabili che mi stanno facendo sclerare pesante
Ecco la prima
$y' = 1-y^2$
io ho provato a risolverla così:
$y' = dy/dx $
$dy/dx = 1 -y^2$$
$dy/(1-y^2) = dx$
$intdy/(1-y^2) = intdx$
$arctanhy = x + k $
$y = tanh(x+k)$
io mi ricordo che vale questa relazione
$tanh y = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)$.
potrei sostituirla la dentro ma non sò come fare
La seconda è davvero stupida ma più sono facili e più mi perdo
$ydx - xdy = 0$
$ydx = xdy $
$dx/x = dy/y$
$intdx/x =intdy/y$
$ln c + ln|x| = ln|y|$
$ln c|x| = ln|y|$
$c|x| = |y|$
$y = +-c|x|$
il risultato che mi da il libro è completametne diverso
$y = cx$ con $c = +-e^k$ per $c=0$ si ha l'integrale particolare $y = 0$
qualcuno potrebbe gentilmente illuminarmi?
GRAZIE
Ecco la prima
$y' = 1-y^2$
io ho provato a risolverla così:
$y' = dy/dx $
$dy/dx = 1 -y^2$$
$dy/(1-y^2) = dx$
$intdy/(1-y^2) = intdx$
$arctanhy = x + k $
$y = tanh(x+k)$
io mi ricordo che vale questa relazione
$tanh y = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)$.
potrei sostituirla la dentro ma non sò come fare
La seconda è davvero stupida ma più sono facili e più mi perdo
$ydx - xdy = 0$
$ydx = xdy $
$dx/x = dy/y$
$intdx/x =intdy/y$
$ln c + ln|x| = ln|y|$
$ln c|x| = ln|y|$
$c|x| = |y|$
$y = +-c|x|$
il risultato che mi da il libro è completametne diverso
$y = cx$ con $c = +-e^k$ per $c=0$ si ha l'integrale particolare $y = 0$
qualcuno potrebbe gentilmente illuminarmi?
GRAZIE
Risposte
1)
Tu hai trovato (mi fido, non ho controllato se il risultato è corretto)
$y=tanh(x+k)$
e sai che
$tanhx=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))$
quindi nel tuo caso si ha
$y=(e^(x+k)-e^(-x-k))/(e^(x+k)+e^(-x-k))$
2)
Qui l'inghippo sta nel fatto che
$\int dx/x=\int dy/y$
comporta che sia
$c+ln|x|=ln|y|$ (qui c'è la diversità rispetto ai tuoi passaggi)
da cui
$lne^c+ln|x|=ln|y| \quad => \quad lne^c|x|=ln|y| \quad => \quad e^c|x|=|y| \quad => \quad y=+-e^cx$
che è il risultato del libro.
Tieni presente che per arrivare a questo insieme di soluzioni hai dovuto dividere per $x$ e per $y$, quindi quelle soluzioni valgono per $x \ne 0$ e $y \ne 0$, emntre la tua equazione differenziale iniziale non escludeva a priori tali valori.
Si osserva che le soluzioni possono essere prolungate per continuità in modo naturale comprendendo anche il vlaore $x=0$.
La funzione $y=0$ è invece esclusa da quella classe perché la costante $e^c$ non si annulla mai al variare di $c \in RR$, quindi si deve verificare se essa è una soluzione utilizzando direttamente l'equazione iniziale.
Poiché vale
$y=0 \quad => \quad dy = 0$
l'equazione è banalmente soddisfatta perciò anche $y=0$ è soluzione.
A questo punto il libro riscrive tutte le soluzioni (comprendendo anche quest'ultima) in modo compatto con un'unica notazione indicandole come
$y= 0 $ con $k \in RR$
Tieni presente che anche il tuo risultato è corretto (tranne per il fatto che non hai tenuto conto della soluzione particolare $y=0$): la differenza rispetto al libro è solo formale poiché la costante $c$ del libro varia su tutto $RR$ e lo stesso vale per la tua costante $lnc$ (naturalmente con $c \in RR^+$). Se fosse comodo per i calcoli si potrebbe esprimere la costante come $(c*pi + 93)/sqrt(2)$, tanto per fare un esempio. Ciò sarebbe comunque corretto perché al variare di $c \in RR$ l'espressione precedente varia su tutto $RR$ ed è ciò che conta.
Spero di essermi spiegato in modo sufficientemente chiaro...
Tu hai trovato (mi fido, non ho controllato se il risultato è corretto)
$y=tanh(x+k)$
e sai che
$tanhx=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))$
quindi nel tuo caso si ha
$y=(e^(x+k)-e^(-x-k))/(e^(x+k)+e^(-x-k))$
2)
Qui l'inghippo sta nel fatto che
$\int dx/x=\int dy/y$
comporta che sia
$c+ln|x|=ln|y|$ (qui c'è la diversità rispetto ai tuoi passaggi)
da cui
$lne^c+ln|x|=ln|y| \quad => \quad lne^c|x|=ln|y| \quad => \quad e^c|x|=|y| \quad => \quad y=+-e^cx$
che è il risultato del libro.
Tieni presente che per arrivare a questo insieme di soluzioni hai dovuto dividere per $x$ e per $y$, quindi quelle soluzioni valgono per $x \ne 0$ e $y \ne 0$, emntre la tua equazione differenziale iniziale non escludeva a priori tali valori.
Si osserva che le soluzioni possono essere prolungate per continuità in modo naturale comprendendo anche il vlaore $x=0$.
La funzione $y=0$ è invece esclusa da quella classe perché la costante $e^c$ non si annulla mai al variare di $c \in RR$, quindi si deve verificare se essa è una soluzione utilizzando direttamente l'equazione iniziale.
Poiché vale
$y=0 \quad => \quad dy = 0$
l'equazione è banalmente soddisfatta perciò anche $y=0$ è soluzione.
A questo punto il libro riscrive tutte le soluzioni (comprendendo anche quest'ultima) in modo compatto con un'unica notazione indicandole come
$y= 0 $ con $k \in RR$
Tieni presente che anche il tuo risultato è corretto (tranne per il fatto che non hai tenuto conto della soluzione particolare $y=0$): la differenza rispetto al libro è solo formale poiché la costante $c$ del libro varia su tutto $RR$ e lo stesso vale per la tua costante $lnc$ (naturalmente con $c \in RR^+$). Se fosse comodo per i calcoli si potrebbe esprimere la costante come $(c*pi + 93)/sqrt(2)$, tanto per fare un esempio. Ciò sarebbe comunque corretto perché al variare di $c \in RR$ l'espressione precedente varia su tutto $RR$ ed è ciò che conta.
Spero di essermi spiegato in modo sufficientemente chiaro...
Se non ho capito male qundi, ogni volta che separo le variabli devo discutere una specie di dominio delle funzioni che vado ad integrare
non ho però capito bene cosa significa la frase
"Si osserva che le soluzioni possono essere prolungate per continuità in modo naturale comprendendo anche il valore $x=0$.
cosa significa praticamente "prolungare per continutà le soluzioni?"
come avrai intuito, io e le eq diff non andiamo molto d'accordo
non ho però capito bene cosa significa la frase
"Si osserva che le soluzioni possono essere prolungate per continuità in modo naturale comprendendo anche il valore $x=0$.
cosa significa praticamente "prolungare per continutà le soluzioni?"
come avrai intuito, io e le eq diff non andiamo molto d'accordo
"magliocurioso":
Se non ho capito male qundi, ogni volta che separo le variabli devo discutere una specie di dominio delle funzioni che vado ad integrare
Diciamo che se esegui delle operazioni algebriche devi stare attento che l'esecuzione di tali operazioni non ti facciano perdere delle soluzioni. Qualcosa di analogo accade anche nelle usuali equazioni algebriche quando si fanno operazioni potenzialmente non lecite (elevamento a potenza, estrazionidi radice, ecc.)
"magliocurioso":
non ho però capito bene cosa significa la frase
"Si osserva che le soluzioni possono essere prolungate per continuità in modo naturale comprendendo anche il valore $x=0$.
cosa significa praticamente "prolungare per continutà le soluzioni?"
Come ho scritto nel post precedente il tuo procedimento è valido nelle ipotesi $x \ne 0$ e $y \ne 0$ poiché esegui una divisione per $x$ e per $y$, quindi le soluzioni
$y=+-e^cx$
sono valide $\forall x \in RR-{0}$.
Tuttavia queste funzioni soddisfano l'equazione differenziale di partenza anche per $x=0$ e quindi si possono "prolungare" le soluzioni trovate rendendole continue anche in $x=0$ e dire che le soluzioni sono
$y=+-e^cx \quad \forall x \in RR$
oltre, naturalmente, a quella particolare ricavata nel modo già illustrato.
P.S.: so pochissimo sulle equazioni differenziali, di certo qui nel forum ci sono utenti ben piú esperti di me al riguardo. Ad esempio, se vai nel sito web di Fioravante Patrone trovi delle dispensine proprio sulle equazioni differenziali a variabili separabili. Lí torverai l'argomento trattato in modo molto piú rigoroso di quanto possa fare io.
Tieni presente che lo studio delle equazioni differenziali è una della branche della matematica piú ostica proprio per l'intrinseca difficoltà dell'argomento. Quindi se ci sbatti la testa contro non preoccuparti...tanti matematici hanno già i tuoi stessi bernoccoli...
eheh parole consolanti XD
però bernocoli o meno a gennaio devo passare analisi 2 e senz'altro ci metterà delle eq diff impossibili. più che capire appieno la teoria ho bisogno di imparare a risolverle praticamente ma la vedo molto dura
però bernocoli o meno a gennaio devo passare analisi 2 e senz'altro ci metterà delle eq diff impossibili. più che capire appieno la teoria ho bisogno di imparare a risolverle praticamente ma la vedo molto dura
"magliocurioso":
eheh parole consolanti XD
però bernocoli o meno a gennaio devo passare analisi 2 e senz'altro ci metterà delle eq diff impossibili. più che capire appieno la teoria ho bisogno di imparare a risolverle praticamente ma la vedo molto dura
Certo che è dura: è proprio quello il bello!
Tieni presente che nella risoluzione delle equazioni differenziali la conoscenza della teoria è condizione necessaria (ma purtroppo non sempre sufficiente...) per poterle risolvere in modo corretto, altrimenti si corre il rischio di prendere delle cantonate clamorose (o di perdersi delle soluzioni per strada, come nel caso del tuo secondo esercizio).
In ogni caso mi sembra che qualcosa lo sai già fare.
Tieni duro e buono studio!
Rieccomi a rompere le scatole Sono diversi giorni che ci sto provando e mi sto deprimendo. La soluzione che ho trovato io è questa
$y=tanh(x+k)$
Ora, come diavolo si fa per riscriverla come la riporta il libro, e cioè:
$y = 1$ e $y = (Ce^(2x)-1)/(Ce^(2x)+1)$
sostituendo nella questa qui
$tanhy = (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) $
si ottiene
$y = (e^(x+k)-e^(-x-k))/(e^(x+k)+e^(-x-k)) $
se però si applicano le proprietà esponenziali si ottiene
$y = (e^xe^k-e^(-x)e^(-k))/(e^xe^k+e^(-x)e^(-k)) $
però non mi pare che si possa raccogliere niente. Sto dimenticando qualche altra proprietà oppure ho sbagliato fin dal principio ad impostare la soluzione?
Sono diversi giorni che ci sto provando e mi sto deprimendo. La soluzione che ho trovato io è questa $y=tanh(x+k)$
Ora, come diavolo si fa per riscriverla come la riporta il libro, e cioè:
$y = 1$ e $y = (Ce^(2x)-1)/(Ce^(2x)+1)$
sostituendo nella
$tanhy = (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) $
si ottiene
$y = (e^(x+k)-e^(-x-k))/(e^(x+k)+e^(-x-k)) $
se però si applicano le proprietà esponenziali si ottiene
$y = (e^xe^k-e^(-x)e^(-k))/(e^xe^k+e^(-x)e^(-k)) $
però non mi pare che si possa raccogliere niente. Sto dimenticando qualche altra proprietà oppure ho sbagliato fin dal principio ad impostare la soluzione?
Ciao magliocurioso!
Sono incappato anch'io in questa equazione differenziale
Ti dico come ho risolto:
Partendo da
$y=\frac{e^(x+k)-e^(-x-k)}{e^(x+k)+e^(-x-k)}$
espliciti $e^(-x-k)$ come $\frac{1}{e^(x+k)}$
e fai il minimo comune multiplo sia al numeratore che al denominatore
$y=\frac{e^(x+k) - \frac{1}{e^(x+k)}}{e^(x+k) + \frac{1}{e^(x+k)}} = \frac{e^(2x+2k)-1}{e^(x+k)}*\frac{e^(x+k)}{e^(2x+2k)+1}=\frac{e^(2x+2k)-1}{e^(2x+2k)+1} = \frac{e^(2x)e^(2k)-1}{e^(2x)e^(2k)+1}$
Ponendo $e^(2k) = C$ ottieni
$y = \frac{Ce^(2x)-1}{Ce^(2x)+1}$
che, al variare di $C$ in $RR^+$ rappresenta la famiglia di soluzioni riportata sul libro.
A questa aggiungi i due integrali singolari $y=\pm 1$ esclusi implicitamente quando hai diviso per $1-y^2$; ma si può notare che la soluzione $y=-1$ è compresa nella famiglia ammettendo il caso in cui $C=0$. Quindi
$SOL: { y = \frac{Ce^(2x)-1}{Ce^(2x)+1} \quad , \quad C \in RR^+_0 } \quad \cup \quad { y = 1 }$
A me personalmente sta più simpatica la forma con la tangente iperbolica, che è del tutto equivalente a questa qui (per convincermene ho anche usato un plotter online per graficare le curve al variare di C in entrambe le forme: ti garantisco che i risultati sono perfettamente sovrapponibili).
Questione di gusti
Sono incappato anch'io in questa equazione differenziale
Ti dico come ho risolto:
Partendo da
$y=\frac{e^(x+k)-e^(-x-k)}{e^(x+k)+e^(-x-k)}$
espliciti $e^(-x-k)$ come $\frac{1}{e^(x+k)}$
e fai il minimo comune multiplo sia al numeratore che al denominatore
$y=\frac{e^(x+k) - \frac{1}{e^(x+k)}}{e^(x+k) + \frac{1}{e^(x+k)}} = \frac{e^(2x+2k)-1}{e^(x+k)}*\frac{e^(x+k)}{e^(2x+2k)+1}=\frac{e^(2x+2k)-1}{e^(2x+2k)+1} = \frac{e^(2x)e^(2k)-1}{e^(2x)e^(2k)+1}$
Ponendo $e^(2k) = C$ ottieni
$y = \frac{Ce^(2x)-1}{Ce^(2x)+1}$
che, al variare di $C$ in $RR^+$ rappresenta la famiglia di soluzioni riportata sul libro.
A questa aggiungi i due integrali singolari $y=\pm 1$ esclusi implicitamente quando hai diviso per $1-y^2$; ma si può notare che la soluzione $y=-1$ è compresa nella famiglia ammettendo il caso in cui $C=0$. Quindi
$SOL: { y = \frac{Ce^(2x)-1}{Ce^(2x)+1} \quad , \quad C \in RR^+_0 } \quad \cup \quad { y = 1 }$
A me personalmente sta più simpatica la forma con la tangente iperbolica, che è del tutto equivalente a questa qui (per convincermene ho anche usato un plotter online per graficare le curve al variare di C in entrambe le forme: ti garantisco che i risultati sono perfettamente sovrapponibili).
Questione di gusti
GRAZIE, sei troppo un genio
devi pero spiegarmi due cosettine:
1) perchè $C$ deve variare sono in $RR+$ ?
2), esiste un metodo pratico per individuare gli integrali singolari?
devi pero spiegarmi due cosettine:
1) perchè $C$ deve variare sono in $RR+$ ?
2), esiste un metodo pratico per individuare gli integrali singolari?
Ti rispondo per quanto ne so sull'argomento (cioè: poco) e per quanto mi concedono i neuroni a quest'ora (cioè: ancora meno )
$C = e^k$ assume valori strettamente positivi proprio perché dipende da un'esponenziale, che non può mai diventare negativo per quanto ti "sforzi" a far variare k in $RR$.
Spero di sbagliarmi, ma non credo esista un metodo univoco per individuare gli integrali singolari. Per le ED a variabili separabili, il metodo stesso di integrazione ti porta a "perdere per la strada" delle soluzioni: per passare da
$\frac{dy}{dx} = 1 - y^2$
a
$\frac{dy}{1-y^2} = dx$
stai implicitamente imponendo che $1-y^2 \ne 0$ cioè stai escludendo le soluzioni $y = \pm 1$, che, pur non rientrando nell' "integrale generale" ottenuto procedendo con l'integrazione membro a membro, POTREBBERO (condizionale d'obbligo) comunque risolverti l'equazione assegnata.
Se ad esempio avessi avuto $1+y^2$, invece che $1-y^2$, il problema non si sarebbe posto, perché sai che $1+y^2 \ne 0 \quad \forallx\in RR$ e quindi dividendo per questa quantità di sicuro non stai "lasciando dietro" nessuna soluzione.
Non so se sono stato chiaro, rileggendo non è che MI sia capito molto...
In realtà, forse, l'unico metodo pratico percorribile è proprio.... la pratica
)$C = e^k$ assume valori strettamente positivi proprio perché dipende da un'esponenziale, che non può mai diventare negativo per quanto ti "sforzi" a far variare k in $RR$.
Spero di sbagliarmi, ma non credo esista un metodo univoco per individuare gli integrali singolari. Per le ED a variabili separabili, il metodo stesso di integrazione ti porta a "perdere per la strada" delle soluzioni: per passare da
$\frac{dy}{dx} = 1 - y^2$
a
$\frac{dy}{1-y^2} = dx$
stai implicitamente imponendo che $1-y^2 \ne 0$ cioè stai escludendo le soluzioni $y = \pm 1$, che, pur non rientrando nell' "integrale generale" ottenuto procedendo con l'integrazione membro a membro, POTREBBERO (condizionale d'obbligo) comunque risolverti l'equazione assegnata.
Se ad esempio avessi avuto $1+y^2$, invece che $1-y^2$, il problema non si sarebbe posto, perché sai che $1+y^2 \ne 0 \quad \forallx\in RR$ e quindi dividendo per questa quantità di sicuro non stai "lasciando dietro" nessuna soluzione.
Non so se sono stato chiaro, rileggendo non è che MI sia capito molto...
In realtà, forse, l'unico metodo pratico percorribile è proprio.... la pratica
Tutto il casino si sarebbe potuto evitare risolvendo l'integrazione
col metodo dei fratti.
Supponendo $y!=+-1$,l'equazione si puo' scrivere anche così:
$[1/2*1/(1+y)+1/2*1/(1-y)]dy=dx$ ed integrando:
$1/2[ln|1+y|-ln|1-y|]=x+c$ ovvero:
$ln|(1+y)/(1-y)|=2x+2c$ da cui $(1+y)/(1-y)=+-e^(2c+2x)=+-e^(2c)*e^(2x)=Ce^(2x)$
avendo posto $+-e^(2c)=C$.
Pertanto:
$1+y=Ce^(2x)-yCe^(2x)$ da cui appunto $y=(Ce^(2x)-1)/(Ce^(2x)+1)$
col metodo dei fratti.
Supponendo $y!=+-1$,l'equazione si puo' scrivere anche così:
$[1/2*1/(1+y)+1/2*1/(1-y)]dy=dx$ ed integrando:
$1/2[ln|1+y|-ln|1-y|]=x+c$ ovvero:
$ln|(1+y)/(1-y)|=2x+2c$ da cui $(1+y)/(1-y)=+-e^(2c+2x)=+-e^(2c)*e^(2x)=Ce^(2x)$
avendo posto $+-e^(2c)=C$.
Pertanto:
$1+y=Ce^(2x)-yCe^(2x)$ da cui appunto $y=(Ce^(2x)-1)/(Ce^(2x)+1)$
"licio":
Tutto il casino si sarebbe potuto evitare risolvendo l'integrazione
col metodo dei fratti.
Supponendo $y!=+-1$,l'equazione si puo' scrivere anche così:
$[1/2*1/(1+y)+1/2*1/(1-y)]dy=dx$ ed integrando:
$1/2[ln|1+y|-ln|1-y|]=x+c$ ovvero:
$ln|(1+y)/(1-y)|=2x+2c$ da cui $(1+y)/(1-y)=+-e^(2c+2x)=+-e^(2c)*e^(2x)=Ce^(2x)$
avendo posto $+-e^(2c)=C$.
Pertanto:
$1+y=Ce^(2x)-yCe^(2x)$ da cui appunto $y=(Ce^(2x)-1)/(Ce^(2x)+1)$
Giustissimo !
E qui si pone un dubbio atroce.
Per com'è stata definita, la tua costante $C$ assume valori su tutto $RR$ tranne che in $0$:
utilizzando la tangente iperbolica e passando poi alla forma esponenziale si ottiene la stessa famiglia di soluzioni, ma la $C$ può variare solo in $RR^+$.
Le curve corrispondenti ai valori negativi di $C$ sono o non sono soluzioni dell'equazione differenziale?
"Cozza Taddeo":
P.S.: so pochissimo sulle equazioni differenziali, di certo qui nel forum ci sono utenti ben piú esperti di me al riguardo. Ad esempio, se vai nel sito web di Fioravante Patrone trovi delle dispensine proprio sulle equazioni differenziali a variabili separabili. Lí torverai l'argomento trattato in modo molto piú rigoroso di quanto possa fare io.
Tieni presente che lo studio delle equazioni differenziali è una della branche della matematica piú ostica proprio per l'intrinseca difficoltà dell'argomento. Quindi se ci sbatti la testa contro non preoccuparti...tanti matematici hanno già i tuoi stessi bernoccoli...
condivido quanto espresso in entrambi i capoversi
"magliocurioso":
però bernocoli o meno a gennaio devo passare analisi 2 e senz'altro ci metterà delle eq diff impossibili. più che capire appieno la teoria ho bisogno di imparare a risolverle praticamente ma la vedo molto dura
mah, a me sembra un po' difficile, senza capire la teoria, infatti:
"Mezcalito":
stai implicitamente imponendo che $1-y^2 \ne 0$ cioè stai escludendo le soluzioni $y = \pm 1$, che, pur non rientrando nell' "integrale generale" ottenuto procedendo con l'integrazione membro a membro, POTREBBERO (condizionale d'obbligo) comunque risolverti l'equazione assegnata.
Se ad esempio avessi avuto $1+y^2$, invece che $1-y^2$, il problema non si sarebbe posto, perché sai che $1+y^2 \ne 0 \quad \forallx\in RR$ e quindi dividendo per questa quantità di sicuro non stai "lasciando dietro" nessuna soluzione.
Non so se sono stato chiaro, rileggendo non è che MI sia capito molto...
In realtà, forse, l'unico metodo pratico percorribile è proprio.... la pratica
giustamente Mezcalito pone un problema.
Non sono d'accordo, in questo caso, con la sua "soluzione". Per me questo problema non lo si risolve con la pratica (che invece in altri casi funge benissimo), ma si risolve con un po' di teoria.
Visto che Mezcalito mi pare abbia la sensibilità giusta per farlo, dai suoi post, gli vorrei suggerire i miei appunti sulle equadiff a variabili separabili già citate da Cozza Taddeo.
O leggersi un buon libro di teoria (a me è sempre piaciuto Brauer e Nohel).
"Fioravante Patrone":
giustamente Mezcalito pone un problema.
Non sono d'accordo, in questo caso, con la sua "soluzione". Per me questo problema non lo si risolve con la pratica (che invece in altri casi funge benissimo), ma si risolve con un po' di teoria.
Visto che Mezcalito mi pare abbia la sensibilità giusta per farlo, dai suoi post, gli vorrei suggerire i miei appunti sulle equadiff a variabili separabili già citate da Cozza Taddeo.
O leggersi un buon libro di teoria (a me è sempre piaciuto Brauer e Nohel).
uhm...
non posso che darti ragione!!!
Dovrei leggere gli appunti con più attenzione, ma già da una rapida scorta si cominciano a chiarire dei dubbi... ho sempre avvertito come "precario" questo metodo di integrazione, per come mi è stato presentato ai corsi di Analisi a Ingegneria; è rassicurante realizzare che esiste un impianto teorico rigoroso e coerente alla base
Ti ringrazio davvero per l'illuminazione!
"Mezcalito":
Ti ringrazio davvero per l'illuminazione!
è il destino di noi "chiarissimi"
[size=75]eddai, non me la potevo perdere![/size]
Vi ringrazio tutti quanti per i vostri chiarimenti, in modo particolare Fioravante Patrone per le sue dispense messe in rete.
Spesso però la cosa che mi lascia perplesso è che non vedo un fortissimo legame tra teoria e pratica e in alcuni casi [come le eq diff] mi sembrano due cose diametralmente opposte. Come posso fare per arginare questo problema?
Spesso però la cosa che mi lascia perplesso è che non vedo un fortissimo legame tra teoria e pratica e in alcuni casi [come le eq diff] mi sembrano due cose diametralmente opposte. Come posso fare per arginare questo problema?
In fondo alle mie dispense ci sono esercizi svolti.
Credo che un problema sia che io presuppongo che chi legge "comprenda ciò che vi è scritto", nel senso che abbia le idee chiare sulle cose di base e sui prerequisiti. Qui può essere la chiave delle difficoltà. Perché ciò che viene proposto nei miei appunti (e in altri testi) è solo una giustificazione accurata e rigorosa dei risultati che si ottengono col metodo urang-utang©, senza che ve ne sia necessità.
Credo che un problema sia che io presuppongo che chi legge "comprenda ciò che vi è scritto", nel senso che abbia le idee chiare sulle cose di base e sui prerequisiti. Qui può essere la chiave delle difficoltà. Perché ciò che viene proposto nei miei appunti (e in altri testi) è solo una giustificazione accurata e rigorosa dei risultati che si ottengono col metodo urang-utang©, senza che ve ne sia necessità.
"Fioravante Patrone":
In fondo alle mie dispense ci sono esercizi svolti.
Credo che un problema sia che io presuppongo che chi legge "comprenda ciò che vi è scritto", nel senso che abbia le idee chiare sulle cose di base e sui prerequisiti. Qui può essere la chiave delle difficoltà. Perché ciò che viene proposto nei miei appunti (e in altri testi) è solo una giustificazione accurata e rigorosa dei risultati che si ottengono col metodo urang-utang©, senza che ve ne sia necessità.
Fantastico..stavo cercando qualche cosa di teoria sulle eq.differenziali a variabili separabili... e guarda un po' da Google spunta Fioravante Patrone!
come ho potuto dubitare! mitico prof!
come ho potuto dubitare! mitico prof!
Sergey Brin e Larry Page erano miei studenti e continuano a volermi bene!
Non capisco come si possa pensare che le equazioni differenziali si possono affrontare senza bisogno della relativa teoria, anche se purtroppo questo è un atteggiamento che ho trovato spesso ad ingegneria.
Dalla teoria e dai suoi teoremi si può cercare di capire se per un dato problema di Cauchy la soluzione esiste e se è unica o meno, inoltre si può capire su quale dominio ha senso, insomma non è poco perchè se uno si butta a testa bassa nella pratica rischia di perdersi per strada delle soluzioni, oppure cercare soluzioni di un problema che magari neppure ce le ha.
Dalla teoria e dai suoi teoremi si può cercare di capire se per un dato problema di Cauchy la soluzione esiste e se è unica o meno, inoltre si può capire su quale dominio ha senso, insomma non è poco perchè se uno si butta a testa bassa nella pratica rischia di perdersi per strada delle soluzioni, oppure cercare soluzioni di un problema che magari neppure ce le ha.
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