Equazioni Differenziali a variabile separabile

[xAle2]

Salve,
sto avendo qualche problema circa la comprensione del metodo risolutivo delle e.d. del primo ordine a variabile separabile. Riporto un testo di un esercizio

Trovare le soluzioni dei tre problemi di Cauchy.
$u'=2tu^2 , u(t_0)=u_0$
per $(t_0,u_0)=(0,1), (t_0,u_0)=(2,-1/3)$ e $(t_0,u_0)=(0,-1)$. Specificare con chiarezza i domini di tali soluzioni, motivando la risposta.

Non ho problemi a "separare le variabili" e risolvere gli integrali che ne derivano. Le mie difficoltà sono legate alla discussione dei domini delle soluzioni. Potreste spiegarmi come comportarmi in questi casi?

P.s. Non brancolo totalmente nel buio, mi serve solo una spiegazione chiara per capire come affrontare questo genere di esercizi

[quantunquemente]

se non ho svolto male i calcoli,la soluzione generale dell'equazione è $u=1/(c-t^2)$
imponendo la prima condizione iniziale si ha $c=1$
ora,la funzione $1/(1-t^2)$ è definita in $mathbbR-{+-1}$
quindi la soluzione ha 2 limiti invalicabili : i valori $t=+-1$
ne consegue che l'intervallo massimale della soluzione è $(-1,1)$
analogamente si procede per gli altri : bisogna vedere,a partire dalla condizione iniziale,fino a quanto ci si può spingere andando "all'indietro" o "in avanti"

[xAle2]

Ok questo mi è chiaro. Quando divido per $u(x)^2$ devo tenere conto che non si annulli mai. Questo mi influenza anche il dominio delle soluzioni o no?

[quantunquemente]

non confondere $u=0$ con $t=0$
la soluzione $u=1/(1-t^2)$ è definita in tutto $(-1,1)$