Equazioni Differenziali
Salve!
A pochi giorni dall'esame sto tentando di riguardare rapidamente i miei appunti sulle equazioni differenziali, spiegate poco e male dalla mia professoressa
Dagli appunti si capisce veramente poco, temo anche per errore mio nel prenderli e speravo che magari, postandoli quì qualcuno potesse aiutarmi a decifrarli nel vero senso della parola
Ad esempio:
"$y'=y+x^3+2x^2-x+1$"
sugli appunti vedo poi
"$y_p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$"
"$ax^3+bx^2+cx+d->3ax^2+2bx+c=ax^3+bx^2+cx+d+x^3+2x^2-x+1$"
da cui mi sembra di capire abbia cercato la soluzione particolare ponendo il "termine noto" dell'equazione differenziale uguale a una generica equzione di terzo grado che poi viene derivata e eguagliata alla generica equazione sommata al termine noto esplicito, ma... perchè?
bene, poi trovo "$a=-1, b=-5, c=-9, d=-10$" che poi vengono sostituite evidentemente all'interno dell'uguaglianza perchè poi trovo scritto
"$-x^3-5x^2-9x-10-3x^2 -10x-9$"
mentre non riesco proprio a capire cosa diavolo è stato fatto nell'ultimo passaggio
$y_p=-x^3-5x^2-9x-10-3x^2 -10x-9=-x^3-5x^2-9x-10+x^3+2x^2-x+1$
Non è finita! Anzi questo secondo esercizio è ancora più scandalosamente incomprensibile..
"$y'=2x+3e^(ax)$"
"$y=ce^(2x)+y_p$"
"$y_p=be^(ax)$" qui ha sostituito quel 3 con un generico b, e non ho idea del perchè
"$y'_p=bae^(ax)$" okei, qua ha derivato e non ci sono problemi, i quali arrivano proprio...
...qui "$bae^(ax)=2be^(ax)+3e^(ax)$" (?)
"$ba=2b+3->b(a-2)=3->b=3/(a-2)$" con $a!=2$
In apparenza pare che abbia eliminato gli '$e$' anche se non capisco con quale criterio...
ora: "$y(x)=ce^(2x)+(3/(a-2))e^(ax)$ è soluzione particolare per $a!=2$
mentre per $a=2$
"$y_p=bxe^ax$" (ho scritto "LA CERCHIAMO COSì" )
"$y'_p=be^(ax)+bxae^(ax)=2bxe^(ax)+3e^(ax)$" ottenendo
"$y(x)=ce^(2x)+3xe^(2x)$" soluzione particolare per $a=2$
Mi senti davvero stupido a chiedere su un forum di interpretare i miei stessi appunti ma ad un certo punto era diventato veramente impossibile seguire, perciò non si faceva altro che copiare passivamente... Lo faccio solo perchè, dopo averci sbattuto un la testa sopra ancora non ne sono venuto a capo, nemmeno chiedendo a colleghi di corso...
Ringrazio in anticipo per qualsiasi aiuto possiate darmi!
A pochi giorni dall'esame sto tentando di riguardare rapidamente i miei appunti sulle equazioni differenziali, spiegate poco e male dalla mia professoressa
Dagli appunti si capisce veramente poco, temo anche per errore mio nel prenderli e speravo che magari, postandoli quì qualcuno potesse aiutarmi a decifrarli nel vero senso della parola
Ad esempio:
"$y'=y+x^3+2x^2-x+1$"
sugli appunti vedo poi
"$y_p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$"
"$ax^3+bx^2+cx+d->3ax^2+2bx+c=ax^3+bx^2+cx+d+x^3+2x^2-x+1$"
da cui mi sembra di capire abbia cercato la soluzione particolare ponendo il "termine noto" dell'equazione differenziale uguale a una generica equzione di terzo grado che poi viene derivata e eguagliata alla generica equazione sommata al termine noto esplicito, ma... perchè?
bene, poi trovo "$a=-1, b=-5, c=-9, d=-10$" che poi vengono sostituite evidentemente all'interno dell'uguaglianza perchè poi trovo scritto
"$-x^3-5x^2-9x-10-3x^2 -10x-9$"
mentre non riesco proprio a capire cosa diavolo è stato fatto nell'ultimo passaggio
$y_p=-x^3-5x^2-9x-10-3x^2 -10x-9=-x^3-5x^2-9x-10+x^3+2x^2-x+1$
Non è finita! Anzi questo secondo esercizio è ancora più scandalosamente incomprensibile..
"$y'=2x+3e^(ax)$"
"$y=ce^(2x)+y_p$"
"$y_p=be^(ax)$" qui ha sostituito quel 3 con un generico b, e non ho idea del perchè
"$y'_p=bae^(ax)$" okei, qua ha derivato e non ci sono problemi, i quali arrivano proprio...
...qui "$bae^(ax)=2be^(ax)+3e^(ax)$" (?)
"$ba=2b+3->b(a-2)=3->b=3/(a-2)$" con $a!=2$
In apparenza pare che abbia eliminato gli '$e$' anche se non capisco con quale criterio...
ora: "$y(x)=ce^(2x)+(3/(a-2))e^(ax)$ è soluzione particolare per $a!=2$
mentre per $a=2$
"$y_p=bxe^ax$" (ho scritto "LA CERCHIAMO COSì"
)"$y'_p=be^(ax)+bxae^(ax)=2bxe^(ax)+3e^(ax)$" ottenendo
"$y(x)=ce^(2x)+3xe^(2x)$" soluzione particolare per $a=2$
Mi senti davvero stupido a chiedere su un forum di interpretare i miei stessi appunti ma ad un certo punto era diventato veramente impossibile seguire, perciò non si faceva altro che copiare passivamente... Lo faccio solo perchè, dopo averci sbattuto un la testa sopra ancora non ne sono venuto a capo, nemmeno chiedendo a colleghi di corso...
Ringrazio in anticipo per qualsiasi aiuto possiate darmi!
Risposte
Per quanto riguarda la prima, mi pare di aver capito che la prof abbia applicato il metodo di somiglianza che riguarda le equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti. Lo hai studiato nella teoria?!
"Lorin":
Per quanto riguarda la prima, mi pare di aver capito che la prof abbia applicato il metodo di somiglianza che riguarda le equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti. Lo hai studiato nella teoria?!
No, di un ordine qualsiasi. Ma qui è facile, non occorre scomodare i paroloni. Si vede dall'equazione che un polinomio ne è soluzione, con un po' di occhio e di astuzia. Allora la prof ne ha preso uno generico, di terzo grado (come il termine noto: chiaro, inutile prendere un grado più alto), lo ha inserito nell'equazione e ha fabbricato una soluzione. Ecco fatto il primo punto: ti conviene rifarti i conti da solo per esercizio.
PS: Anche il secondo punto è così. In sostanza la prof ti sta illustrando come con un po' di fantasia e di astuzia si può trovare una soluzione particolare di una equazione differenziale, "indovinando" la forma della soluzione in funzione di alcuni parametri e poi lavorando di conti per determinarne il valore. E' un procedimento estremamente diffuso e utile in fisica matematica.
Addirittura paroloni xD
Comunque nel post dell'utente avevo visto $y''$ anzichè $y'$ per questo ho dato quella risposta. La prossima volta cercherò di essere meno preciso
Comunque nel post dell'utente avevo visto $y''$ anzichè $y'$ per questo ho dato quella risposta. La prossima volta cercherò di essere meno preciso
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